Теорема Гуревича

Теорема Гуревича — фундаментальный результат алгебраической топологии, связывающей гомотопическую теорию с теорией гомологии с помощью отображения, известного как гомоморфизм Гуревича.

Теорема названа в честь Витольда Гуревича; она обобщает более ранние результаты Анри Пуанкаре.

Формулировка

Пусть ${\displaystyle X}$ — линейно связное топологическое пространство и ${\displaystyle n}$ — целое положительное число. Гомоморфизм Гуревича:

${\displaystyle h_{*}\colon \pi _{n}(X)\to H_{n}(X)}$

определяется следующим образом: если ${\displaystyle u_{n}}$ — образующая ${\displaystyle H_{n}(S^{n})}$, то гомотопический класс отображения ${\displaystyle f\in \pi _{n}(X)}$ отображается в ${\displaystyle f_{*}(u_{n})\in H_{n}(X)}$.

При ${\displaystyle n=1}$ этот гомоморфизм индуцирует изоморфизм:

${\displaystyle {\tilde {h}}_{*}\colon \pi _{1}(X)/[\pi _{1}(X),\pi _{1}(X)]\to H_{1}(X)}$

между абеленизацией фундаментальной группы и первой гомологической группой.

Если ${\displaystyle n\geqslant 2}$ и ${\displaystyle X}$ — ${\displaystyle (n-1)}$-связно, то гомоморфизм Гуревича ${\displaystyle h_{*}\colon \pi _{n}(X)\to H_{n}(X)}$ является изоморфизмом. Более того, ${\displaystyle h_{*}\colon \pi _{n+1}(X)\to H_{n+1}(X)}$ является эпиморфизмом.

Литература

• А. Хатчер. Алгебраическая топология. — М.: МЦНМО, 2011. — С. 464—486. — 689 с. — ISBN 978-5-940-57-748-5.