Теорема Дирихле о диофантовых приближениях

У этого термина существуют и другие значения, см. Теорема Дирихле.

Теорема Дирихле о диофантовых приближениях гласит, что^[1]

Для любого вещественного числа ${\displaystyle \alpha }$ и натурального Q существуют целые p и q, ${\displaystyle 1\leqslant q\leqslant Q}$, удовлетворяющие условию ${\displaystyle |\alpha q-p|<{\frac {1}{Q}}}$

Она является следствием принципа Дирихле. Теорема была доказана Дирихле в 1842 году.

Некоторые следствия

Пусть ${\displaystyle \alpha }$ — иррациональное число. Тогда существует бесконечное множество несократимых дробей ${\displaystyle {\frac {p}{q}},}$ неограниченно близких к ${\displaystyle \alpha }$ в следующем смысле^[1]:

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{2}}}}$

Практическое построение таких приближений несложно выполнить с помощью цепных дробей.

Вариации и обобщения

Принцип Дирихле позволяет доказать и более общую теорему:

для любых вещественных чисел ${\displaystyle \alpha _{1},...,\alpha _{n}}$ и натурального ${\displaystyle Q>1}$ существуют такие целые ${\displaystyle 0<q<Q,a_{1},...,a_{n}}$, что ${\displaystyle |\alpha _{i}q-a_{i}|<{\frac {1}{\sqrt[{n}]{Q}}}}$