Несократимая дробь

В математике несократимая (приведённая) дробь — обыкновенная дробь вида ${\displaystyle \pm {\frac {m}{n}}}$, которую невозможно сократить. Другими словами, дробь несократима, если её числитель и знаменатель взаимно просты^[1], то есть не имеют общих делителей, кроме ${\displaystyle \pm 1}$. Например, дробь ${\displaystyle {\frac {121}{90}}}$ несократима, а ${\displaystyle {\frac {120}{90}}}$ можно сократить: ${\displaystyle {\frac {120}{90}}={\frac {12}{9}}={\frac {4}{3}}.}$

Обыкновенные дроби

Каждое ненулевое рациональное число единственным образом может быть представлено в виде несократимой дроби вида ${\displaystyle {\frac {m}{n}},}$ где ${\displaystyle m}$ — целое число, а ${\displaystyle n}$ — натуральное. Это следует из основной теоремы арифметики. Если разрешить знаменателю ${\displaystyle n}$ быть отрицательным, то возможно второе несократимое представление:

${\displaystyle -{\frac {4}{5}}={\frac {-4}{5}}={\frac {4}{-5}}}$

Для приведения обыкновенной дроби ${\displaystyle \pm {\frac {m}{n}}}$ к несократимому виду надо разделить её числитель и знаменатель на наибольший общий делитель^[2] НОД${\displaystyle (m,n).}$ Чтобы найти наибольший общий делитель, обычно используется алгоритм Евклида или разложение на простые множители.

Для целого числа n представлением в виде несократимой дроби является

${\displaystyle n={\frac {n}{1}}\ }$

Вариации и обобщения

Свойства несократимости, существующие для обыкновенных дробей, сохраняются для произвольного факториального кольца, то есть кольца, в котором справедлив аналог основной теоремы арифметики. Всякую дробь из элементов факториального кольца (с ненулевым знаменателем) можно представить в несократимом виде, причём однозначно с точностью до делителей единицы данного кольца.

Кольцо гауссовых чисел состоит из комплексных чисел вида ${\displaystyle a+bi,}$ где ${\displaystyle a,b}$ — целые числа. Делителей единицы четыре: ${\displaystyle 1;-1;i;-i.}$ Это кольцо факториально, и теория дробей для него строится аналогично целым числам, Например, несложно проверить^[3], что дробь ${\displaystyle {\frac {4+2i}{4+7i}}}$ может быть сокращена до (уже несократимой) ${\displaystyle {\frac {2}{3+2i}}.}$

Многочлены с коэффициентами из некоторого кольца также образуют факториальное кольцо — кольцо многочленов. рациональные функции, то есть дроби, в числителях и знаменателях которых стоят многочлены. Делителями единицы здесь будут ненулевые числа (как многочлены нулевой степени). Неоднозначность представления можно устранить, потребовав, чтобы многочлен в знаменателе был приведённым.

Однако над произвольным кольцом элемент кольца частных, вообще говоря, не обязан иметь единственное, с точностью до делителей единицы, представление в виде несократимой дроби, поскольку основная теорема арифметики справедлива не во всяком кольце^[4]. Рассмотрим, к примеру, комплексные числа вида ${\displaystyle a=m+in{\sqrt {5}}}$, где ${\displaystyle m}$, ${\displaystyle n}$ — целые числа. Сумма и произведение таких чисел будут числами того же вида, поэтому они образуют кольцо. Однако оно не является факториальным, и представление дробей в несократимом виде неоднозначно, например:

${\displaystyle {\frac {6}{3(1+i{\sqrt {5}})}}={\frac {2}{1+i{\sqrt {5}}}}={\frac {1-i{\sqrt {5}}}{3}}}$

У второй и третьей дробей и числитель, и знаменатель — простые числа для указанного кольца, поэтому обе дроби несократимы.