Теорема Колмогорова — Арнольда

Теорема Колмогорова — Арнольда — утверждение анализа функций многих переменных, решающее (в более общем виде) тринадцатую проблему Гильберта: каждая непрерывная функция нескольких переменных может быть представлена в виде суперпозиции непрерывных функций одной переменной и бинарной операции сложения. Установлена Владимиром Арнольдом в 1957 году на базе результата Колмогорова о представлении многомерной функции^[1][2][3].

Для функции ${\displaystyle f}$ от ${\displaystyle n}$ переменных представление может иметь следующий вид^[4]:

${\displaystyle f(\mathbf {x} )=f(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{q=0}^{2n}\Phi _{q}\left(\sum _{p=1}^{n}\phi _{q,p}(x_{p})\right)}$.

Результат можно рассматривать в том смысле, что единственная «истинная» функция многих переменных — это сложение, поскольку все другие функции можно записать с её помощью и функций одной переменной^[5][6].

Уточнения и обобщения

Вариант теоремы, который уменьшает количество внешних функции ${\displaystyle \Phi _{q}}$, принадлежит Джорджу Лоренцу^[7] (1962): внешние функции ${\displaystyle \Phi _{q}}$ можно заменить на одну функцию ${\displaystyle \Phi }$, точнее говоря, установлено, что существуют функции ${\displaystyle \phi _{q,p}}$, ${\displaystyle q=0,1,\ldots ,2n}$, ${\displaystyle p=1,\ldots ,n}$ такие, что:

${\displaystyle f(\mathbf {x} )=\sum _{q=0}^{2n}\Phi \left(\sum _{p=1}^{n}\phi _{q,p}(x_{p})\right)}$.

Шпрехер^[8] заменил внутренние функции ${\displaystyle \phi _{q,p}}$ на одну внутреннюю функцию с соответствующим сдвигом в своих аргументах и доказал, что существуют действительные значения ${\displaystyle \eta ,\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}}$, непрерывная функция ${\displaystyle \Phi \colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ и действительная возрастающая непрерывная функция ${\displaystyle \phi \colon [0,2]\to \mathbb {R} }$ с ${\displaystyle \phi \in \operatorname {Lip} {\big (}\ln 2/\ln(2N+2){\big )}}$ для ${\displaystyle N\geqslant n\geqslant 2}$ такие, что:

${\displaystyle f(\mathbf {x} )=\sum _{q=0}^{2n}\Phi \left(\sum _{p=1}^{n}\lambda _{p}\phi (x_{p}+\eta q)+q\right)}$.

Филлип Остранд^[9] обобщил теорему на метрические пространства: для компактных метрических пространств ${\displaystyle X_{p}}$ конечной размерности ${\displaystyle n_{p}}$ (${\displaystyle p=1,\ldots ,m}$) существует непрерывная функция ${\displaystyle \phi _{q,p}\colon X_{p}\to [0,1],\ q=0,\ldots ,2n,\ p=1,\ldots ,m}$ и непрерывные функции ${\displaystyle G_{q}\colon [0,1]\to \mathbb {R} ,\ q=0,\ldots ,2n}$ такие, что любая непрерывная функция ${\displaystyle f\colon X_{1}\times \dots \times X_{m}\to \mathbb {R} }$ представима в виде:

${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{m})=\sum _{q=0}^{2n}G_{q}\left(\sum _{p=1}^{m}\phi _{q,p}(x_{p})\right).}$