Теорема Коши о многогранниках

У этого термина существуют и другие значения, см. Теорема Коши.

Теорема Коши о многогранниках утверждает, что грани многогранника вместе с правилом склейки полностью определяют выпуклый многогранник.

Формулировка

Два замкнутых выпуклых многогранника конгруэнтны, если существует непрерывная биекция между их поверхностями, переводящая изометрией каждую грань первого многогранника в грань второго.

История

Вопрос о том, что грани многогранника вместе с правилами склейки полностью определяют выпуклый многогранник, был сформулирован Лежандром в 1-м издании его учебника.^[1] Там же была дана ключевая лемма о четырёх переменах знаков, которая использовалась Коши в его доказательстве.^[2] Это доказательство содержало ошибку, которая была замечена и исправлена Штейницем в 1934 году^[3].

Вариации и обобщения

• Аналогичный результат верен в пространствах всех размерностей начиная с 3.

• Для невыпуклых многогранников аналогичный результат неверен.
  • Более того, существует невыпуклый многогранник, который допускает непрерывные деформации в классе многогранников с конгруэнтными гранями. Такой многогранник называется изгибаемым. Однако, согласно теореме Сабитова, объём такого многогранника в процессе деформаций будет оставаться неизменным.

• Согласно теореме Александрова о развёртке, условие конгруэнтности граней можно ослабить до условия изометричности внутренней метрики поверхности многогранника.
  • Более того, то же верно для любой замкнутой выпуклой поверхности. Последнее доказано Алексеем Васильевичем Погореловым.^[4][5] Другое доказательство было получено Юрием Александровичем Волковым.^[6][7],

См. также

• Лемма о руке