Теорема Кронекера — Капелли

Теоре́ма Кро́некера — Капе́лли — критерий совместности системы линейных алгебраических уравнений:

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы.

Для того чтобы линейная система являлась совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы этой системы был равен рангу её основной матрицы. Была доказана независимо друг от друга Леопо́льдом Кро́некером и Альфре́до Капе́лли.

Название теоремы

В России это теорема Кронекера — Капелли, в Италии и англоязычных странах — теорема Руше — Капелли, в Испании и странах Латинской Америки — теорема Руше — Фробениуса.

Пояснения

Система уравнений ${\displaystyle Ax=B}$ совместна тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \operatorname {rang} A=\operatorname {rang} (A|B)}$, где ${\displaystyle (A|B)}$ — расширенная матрица, полученная из матрицы ${\displaystyle A}$ приписыванием столбца ${\displaystyle B}$^[1].

Доказательство (условия совместности системы)

Необходимость

Пусть система совместна. Тогда существуют числа ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}\in \mathbb {R} }$ такие, что ${\displaystyle b=x_{1}a_{1}+\dots +x_{n}a_{n}}$. Следовательно, столбец ${\displaystyle b}$ является линейной комбинацией столбцов ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$ матрицы ${\displaystyle A}$. Из того, что ранг матрицы не изменится, если из системы её строк (столбцов) вычеркнуть или приписать строку (столбец), которая является линейной комбинацией других строк (столбцов) следует, что ${\displaystyle \operatorname {rang} A=\operatorname {rang} A|B}$.

Достаточность

Пусть ${\displaystyle \operatorname {rang} A=\operatorname {rang} A|B=r}$. Возьмём в матрице ${\displaystyle A}$ какой-нибудь базисный минор. Так как ${\displaystyle \operatorname {rang} A|B=r}$, то он же будет базисным минором и матрицы ${\displaystyle A|B}$. Тогда, согласно теореме о базисном миноре, последний столбец матрицы ${\displaystyle A|B}$ будет линейной комбинацией базисных столбцов, то есть столбцов матрицы ${\displaystyle A}$. Следовательно, столбец свободных членов системы является линейной комбинацией столбцов матрицы ${\displaystyle A}$.

Следствия

• Количество главных переменных системы равно рангу системы.
• Совместная система будет определена (её решение единственно), если ранг системы равен числу всех её переменных.