Теорема Крылова — Боголюбова

У этого термина существуют и другие значения, см. Теорема Боголюбова.

Теорема Крылова — Боголюбова — утверждает существование инвариантных мер у «хороших» отображений, определённых на «хороших» пространствах. Существуют две вариации теоремы, для динамических систем и для марковских процессов.

Теорема доказана математиком Н. М. Крыловым и физиком-теоретиком, математиком Н. Н. Боголюбовым.^[1][2] (переиздано в^[3]).

Динамическая формулировка

Пусть ${\displaystyle F}$ — непрерывное отображение метрического компакта ${\displaystyle X}$ в себя. Тогда на ${\displaystyle X}$ существует хотя бы одна ${\displaystyle F}$-инвариантная мера ${\displaystyle \mu }$, которая может быть выбрана таким образом, что она будет неразложимой, или эргодической^[4].

Замечания

• Условие ${\displaystyle F}$-инвариантности, ${\displaystyle F_{*}\mu =\mu }$, означает, что мера прообраза любого борелевского множества равна мере этого множества,

  ${\displaystyle \forall A\in {\mathcal {B}}(X)\quad \mu (F^{-1}(A))=\mu (A);}$

при этом в случае необратимого отображения ${\displaystyle F}$ мера ${\displaystyle F(A)}$ не обязана равняться мере ${\displaystyle A}$.

• Например, мера Лебега инвариантна для удвоения окружности ${\displaystyle x\mapsto 2x\mod 1}$, однако мера дуги ${\displaystyle \left[0,{\frac {1}{3}}\right]}$ не равна мере её образа, дуги ${\displaystyle \left[0,{\frac {2}{3}}\right]}$.

Доказательство

Доказательство теоремы опирается на так называемую процедуру Крылова — Боголюбова — процедуру выделения сходящейся подпоследовательности из последовательности временных средних произвольной начальной меры.

А именно, берётся произвольная начальная мера ${\displaystyle \mu _{0}}$, и рассматривается последовательность её временных средних:

${\displaystyle {\bar {\mu }}_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{j=0}^{n-1}F_{*}^{j}(\mu _{0}).}$

Временные средние являются всё более и более ${\displaystyle F}$-инвариантными:

${\displaystyle F_{*}{\bar {\mu }}_{n}={\bar {\mu }}_{n}+{\frac {1}{n}}(F_{*}^{n}(\mu _{0})-\mu _{0}).}$

Поэтому предел любой сходящейся подпоследовательности последовательности временных средних является инвариантной мерой для отображения ${\displaystyle F}$. Но пространство вероятностных мер на метрическом компакте ${\displaystyle F}$ компактно (в смысле *-слабой топологии), поэтому по меньшей мере одна точка накопления у последовательности ${\displaystyle {\bar {\mu }}_{n}}$ найдётся — что и завершает доказательство. ■

Замечания

• В случае, если в качестве меры ${\displaystyle \mu _{0}}$ берётся мера Дирака (сосредоточенная в типичной начальной точке) или мера Лебега, сходимость последовательности ${\displaystyle {\bar {\mu }}_{n}}$ соответствует существованию меры Синая — Рюэлля — Боуэна.

Формулировка для марковских процессов

Пусть X — польское пространство и пусть (P_t) — семейство вероятностей перехода некоторой однородной марковской полугруппы на X, то есть

${\displaystyle \Pr[X_{t}\in A|X_{0}=x]=P_{t}(x,A).}$

Если существует ${\displaystyle x\in X}$, для которого семейство вероятностных мер { P_t(x, ·) | t > 0 } uniformly tight и полугруппа (P_t) удовлетворяет Feller property, то существует по крайней мере одна инвариантная мера для (P_t), то есть такая вероятностная мера μ на X, что

${\displaystyle (P_{t})_{\ast }(\mu )=\mu ,\quad \forall t>0.}$

Вариации и обобщения

• Точно такие же рассуждения, только связанные с усреднением по последовательности Фёльнера, позволяют доказать, что для любого непрерывного действия аменабельной группы на метрическом компакте найдётся инвариантная относительно этого действия мера.