Теорема Куранта — Фишера

Не следует путать с теоремой Неймана-Моргенштерна о минимаксе.

Теорема Куранта — Фишера — теорема о свойстве эрмитова оператора в гильбертовом пространстве функций. Также называется теоремой о минимаксе^[1].

Формулировка

${\displaystyle \lambda _{k}=\inf \limits _{L_{k}}\sup \limits _{x\in L_{k}\cap S}(Ax,x)}$

${\displaystyle A}$ — линейный самосопряжённый оператор, действующий в конечномерном комплексном или действительном пространстве,

${\displaystyle S}$ — единичная сфера,

${\displaystyle e=e_{1},\dots ,e_{n}}$ — ортонормированный базис пространства ${\displaystyle V}$, состоящий из собственных векторов оператора ${\displaystyle A}$,

${\displaystyle \lambda _{k}}$ — ${\displaystyle k}$-ое собственное значение оператора ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle \lambda _{1}\leq \lambda _{2}\leq \dots \leq \lambda _{n}}$

${\displaystyle L_{k}}$ — ${\displaystyle k}$-мерное подпространство ${\displaystyle V}$.

Доказательство

${\displaystyle p=n-k+1}$,
${\displaystyle L_{k}}$ — ${\displaystyle k}$-мерное подпространство ${\displaystyle V}$,
${\displaystyle W_{n-k+1}}$ — линейная оболочка векторов ${\displaystyle e_{k}\dots e_{n}}$.
${\displaystyle \dim L_{k}+\dim W_{n-k+1}=n+1}$.
Откуда следует, что ${\displaystyle L_{k}\cap W_{n-k+1}\neq {\varnothing }}$. Пусть ${\displaystyle x_{0}\in L_{k}\cap W_{n-k+1}}$ и ${\displaystyle \ \|x_{0}\|=1}$.
Так как ${\displaystyle \lambda _{k}=\inf \limits _{x\in W_{n-k+1}\cap S}(Ax,x),}$ то ${\displaystyle (Ax_{0},x_{0})\geq \lambda _{k}}$.
С другой стороны: так как ${\displaystyle x_{0}\in L_{k}}$ то

${\displaystyle \sup \limits _{x\in L_{k}\cap S}(Ax,x)\geq \lambda _{k}}$

${\displaystyle \inf \limits _{L_{k}}\sup \limits _{x\in L_{k}\cap S}(Ax,x)\geq \lambda _{k}}$

Равенство достигается при ${\displaystyle L_{k}=L({e_{1}\dots e_{k}})}$.

Дополнительно

Очевидно, что ${\displaystyle \sup \limits _{L_{k}}\inf \limits _{x\in L_{k}\cap S}(Ax,x)=\inf \limits _{L_{n-k+1}}\sup \limits _{x\in L_{n-k+1}\cap S}(Ax,x)}$.