Теорема Менелая

Теоре́ма Менела́я, или теорема о трансверсалях, или теорема о полном четырёхстороннике, — классическая теорема аффинной геометрии.

Формулировка

Если точки ${\displaystyle A',B'}$ и ${\displaystyle C'}$ лежат соответственно на сторонах ${\displaystyle BC,CA}$ и ${\displaystyle AB}$ треугольника ${\displaystyle \triangle ABC}$ или на их продолжениях^[1], то они коллинеарны тогда и только тогда, когда

${\displaystyle {\frac {AB'}{B'C}}\cdot {\frac {CA'}{A'B}}\cdot {\frac {BC'}{C'A}}=-1.}$

где ${\displaystyle {\frac {AB'}{B'C}}}$, ${\displaystyle {\frac {CA'}{A'B}}}$ и ${\displaystyle {\frac {BC'}{C'A}}}$ обозначают отношения направленных отрезков.

Доказательство

Проведем через точку ${\displaystyle C}$ прямую, параллельную прямой ${\displaystyle AB}$, и обозначим через ${\displaystyle K}$ точку пересечения этой прямой с прямой ${\displaystyle A'C'}$. Поскольку треугольники ${\displaystyle \triangle AC'B'}$ и ${\displaystyle \triangle CKB'}$ подобны (по двум углам), то

${\displaystyle {\frac {|AC'|}{|CK|}}={\frac {|B'A|}{|B'C|}}}$.

Так как подобными являются также треугольники ${\displaystyle \triangle BC'A'}$ и ${\displaystyle \triangle CKA'}$, тем самым

${\displaystyle {\frac {|CK|}{|C'B|}}={\frac {|A'C|}{|BA'|}}}$.

Исключая ${\displaystyle CK}$, получаем

${\displaystyle {\frac {|AC'|}{|C'B|}}\cdot {\frac {|BA'|}{|A'C|}}\cdot {\frac {|CB'|}{|B'A|}}=1}$.

Возможны два расположения точек ${\displaystyle A',B'}$ и ${\displaystyle C'}$: либо две из них лежат на соответствующих сторонах треугольника, а третья — на продолжении, либо все три лежат на продолжениях соответствующих сторон. Отсюда для отношений направленных отрезков имеем

${\displaystyle {\frac {AB'}{B'C}}\cdot {\frac {CA'}{A'B}}\cdot {\frac {BC'}{C'A}}=-1.}$

Замечания

• В частности, из теоремы следует соотношение для длин отрезков:

  ${\displaystyle {\frac {|AB'|}{|B'C|}}\cdot {\frac {|CA'|}{|A'B|}}\cdot {\frac {|BC'|}{|C'A|}}=1.}$

Вариации и обобщения

• Тригонометрический эквивалент:

${\displaystyle {\frac {\sin \angle BAA'}{\sin \angle A'AC}}\cdot {\frac {\sin \angle CBB'}{\sin \angle B'BA}}\cdot {\frac {\sin \angle ACC'}{\sin \angle C'CB}}=-1}$, где все углы — ориентированные.

• В сферической геометрии теорема Менелая приобретает вид

${\displaystyle {\frac {\sin |AB'|}{\sin |B'C|}}\cdot {\frac {\sin |CA'|}{\sin |A'B|}}\cdot {\frac {\sin |BC'|}{\sin |C'A|}}=1.}$

• В геометрии Лобачевского теорема Менелая приобретает вид

${\displaystyle {\frac {\operatorname {sh} |AB'|}{\operatorname {sh} |B'C|}}\cdot {\frac {\operatorname {sh} |CA'|}{\operatorname {sh} |A'B|}}\cdot {\frac {\operatorname {sh} |BC'|}{\operatorname {sh} |C'A|}}=1.}$

История

Эта теорема доказывается в третьей книге «Сферики» Менелая Александрийского (около 100 года нашей эры). Менелай сначала доказывает теорему для плоского случая, а потом центральным проектированием переносит её на сферу. Возможно, что плоский случай теоремы рассматривался ранее в несохранившихся «Поризмах» Евклида.

Сферическая теорема Менелая была основным средством, с помощью которого решались разнообразные прикладные задачи позднеантичной и средневековой астрономии и геодезии. Ей посвящён ряд сочинений под названием «Книга о фигуре секущих», составленных такими математиками средневекового Востока, как Сабит ибн Корра, ан-Насави, ал-Магриби, ас-Сиджизи, ас-Салар, Джабир ибн Афлах, Насир ад-Дин ат-Туси.

Итальянский математик Джованни Чева в 1678 году предложил доказательство теоремы Менелая и родственной ей теоремы Чевы для плоского случая, основанное на рассмотрении центра тяжести системы из трёх точечных грузов.^[2]

Применения

• Теорема Сальмона
• Многие теоремы проективной геометрии, например, теорема Паппа и теорема Дезарга, доказываются многократным применением теоремы Менелая.

См. также

• Двойное отношение
• Отношение направленных отрезков
• Пропорциональные отрезки
• Прямая Ньютона
• Теорема Чевы
• Теорема Ван-Обеля о треугольнике