Теорема Ван-Обеля о треугольнике

У этого термина существуют и другие значения, см. Теорема Ван-Обеля.

Теорема Ван-Обеля — классическая теорема аффинной геометрии треугольника.

Формулировка

Случай, когда все три точки лежат на сторонах треугольника, а не на их продолжениях.

Случай, когда две точки лежат на продолжениях сторон.

Если прямые ${\displaystyle AP}$, ${\displaystyle BP}$, ${\displaystyle CP}$ пересекают соответственно прямые ${\displaystyle BC}$, ${\displaystyle CA}$ и ${\displaystyle AB}$, содержащие стороны треугольника ${\displaystyle ABC}$ соответственно в точках ${\displaystyle A_{1}}$, ${\displaystyle B_{1}}$ и ${\displaystyle C_{1}}$, то имеет место равенство отношений направленных отрезков:

${\displaystyle {\frac {AC_{1}}{C_{1}B}}+{\frac {AB_{1}}{B_{1}C}}={\frac {AP}{PA_{1}}}}$.

Замечания

• Если отрезки сонаправлены (одинаково направлены), то верхние знаки направленных отрезков можно убрать, и мы получим скалярный вариант теоремы Ван-Обеля:

  ${\displaystyle {\frac {AC_{1}}{C_{1}B}}+{\frac {AB_{1}}{B_{1}C}}={\frac {AP}{PA_{1}}}}$.

О доказательствах

Обычно доказывается применением метода центров масс; доказательство можно также построить на основе теоремы Менелая.

См. также

• Отношение направленных отрезков
• Теорема Менелая
• Теорема Чевы