Теорема Мёнье

Теоре́ма (или фо́рмула) Мёнье́^[1][2] — даёт выражение для кривизны кривой, лежащей на поверхности.

К теореме Мёнье

Формулировки

Существует несколько эквивалентных формулировок:

• Пусть ${\displaystyle \kappa _{\gamma }}$ есть кривизна кривой ${\displaystyle \gamma }$ в точке ${\displaystyle P}$, лежащей на поверхности. Пусть эта поверхность имеет в точке ${\displaystyle P}$ в направлении, касательном к ${\displaystyle \gamma }$, нормальную кривизну ${\displaystyle \kappa }$, и угол между соприкасающейся плоскостью кривой ${\displaystyle \gamma }$ в точке Р и нормалью к поверхности в ${\displaystyle P}$ равен ${\displaystyle \alpha }$. Тогда

  ${\displaystyle \kappa =\kappa _{\gamma }\cdot \cos \alpha }$

• Центр кривизны любой кривой на поверхности есть проекция центра кривизны нормального сечения с той же касательной на главную нормаль этой кривой.

• В любой точке кривой скалярное произведение главной нормали кривой на единичную нормаль поверхности зависит только от направления кривой в этой точке и равно отношению значений первой и второй фундаментальных форм на векторе скорости кривой.

Замечания

• В частности, кривизна любого сечения поверхности не меньше кривизны нормального сечения с той же касательной.

История

Теорему анонсировал Жан Батист Мёнье в 1776 году, опубликовал в 1785 году^[3].

Литература

• Норден А. П. Краткий курс дифференциальной геометрии. М.: Физматгиз, 1958, глава VII, § 89.

Ссылки

• Тимофеева Н. В. Задачи о кривизне на поверхности. Внутренняя геометрия поверхности.
• Meusnier theorem  (англ.).