Вторая квадратичная форма

Вторая квадратичная форма (или вторая фундаментальная форма) поверхности ― квадратичная форма на касательном расслоении поверхности, которая, в отличие от первой квадратичной формы, определяет внешнюю геометрию поверхности в окрестности данной точки.

Вторая квадратичная форма часто обозначается ${\displaystyle \mathrm {I\!I} }$, а её компоненты традиционно обозначаются ${\displaystyle L}$, ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle N}$.

Знание первой и второй квадратичных форм достаточно для вычисления главных кривизн, средней и гауссовой кривизн поверхности.

Определение

Пусть в трёхмерном евклидовом пространстве со скалярным произведением ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ поверхность задана уравнением ${\displaystyle r=r(u,v),}$ где ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle v}$ ― внутренние координаты на поверхности; ${\displaystyle dr=r_{u}du+r_{v}dv}$ ― дифференциал радиус-вектора ${\displaystyle r}$ вдоль выбранного направления смещения из точки ${\displaystyle M}$ в бесконечно близкую точку ${\displaystyle M'}$; ${\displaystyle n}$ — нормальный вектор к поверхности в точке ${\displaystyle M}$. Тогда вторая квадратичная форма имеет вид

${\displaystyle \mathrm {I\!I} =Ldu^{2}+2Mdudv+Ndv^{2},}$

где коэффициенты определяются формулами:

${\displaystyle L=\langle r_{uu},n\rangle =-\langle r_{u},n_{u}\rangle ={\frac {(r_{uu},r_{u},r_{v})}{\sqrt {EG-F^{2}}}},}$

${\displaystyle M=\langle r_{uv},n\rangle =-\langle r_{u},n_{v}\rangle =-\langle r_{v},n_{u}\rangle ={\frac {(r_{uv},r_{u},r_{v})}{\sqrt {EG-F^{2}}}},}$

${\displaystyle N=\langle r_{vv},n\rangle =-\langle r_{v},n_{v}\rangle ={\frac {(r_{vv},r_{u},r_{v})}{\sqrt {EG-F^{2}}}},}$

где ${\displaystyle (\cdot ,\cdot ,\cdot )}$ обозначает смешанное произведение векторов и ${\displaystyle E=|r_{u}|^{2},}$ ${\displaystyle F=\langle r_{u},r_{v}\rangle ,}$ ${\displaystyle G=|r_{v}|^{2}}$ ― коэффициенты первой квадратичной формы поверхности.

Связанные определения

• Оператор формы или оператор Вайнгартена линейный оператор ${\displaystyle S}$ на касательной плоскости определяемый как

  ${\displaystyle S(V)=-\nabla _{V}\nu ,}$

где ${\displaystyle \nu }$ — поле единичных нормалей к поверхности. Оператор формы связан с второй квадратичной формой следующим соотношением:

${\displaystyle \langle S(V),W\rangle =\mathrm {I\!I} (V,W).}$

• Собственные значения оператора формы называются главными кривизнами поверхности в точке, а собственные направления оператора формы называются главными направлениями поверхности в точке.
  • Кривые на поверхности, идущие в главных направлениях называются линиями кривизны.

• Нормальная кривизна ${\displaystyle k_{V}}$ по направлению ${\displaystyle V}$ вычисляется по формуле

  ${\displaystyle {\frac {\mathrm {I} \!\mathrm {I} (V,V)}{\mathrm {I} (V,V)}}=\langle S(V),V\rangle /|V|^{2}}$

где ${\displaystyle \mathrm {I} }$ — первая квадратичная форма.

• Направление с нулевой нормальной кривизной называется асимптотическим, а кривая на поверхности идущая в асимптотическом направлении называется асимптотической кривой.

Вычисление

График функции

В частном случае, когда поверхность представляет собой график функции ${\displaystyle z=f(x,y)}$ в трёхмерном евклидовом пространстве с координатами ${\displaystyle x,y,z}$, коэффициенты второй квадратичной формы принимают вид:

${\displaystyle L={\frac {f_{xx}}{\sqrt {1+f_{x}^{2}+f_{y}^{2}}}},\ \ \ M={\frac {f_{xy}}{\sqrt {1+f_{x}^{2}+f_{y}^{2}}}},\ \ \ N={\frac {f_{yy}}{\sqrt {1+f_{x}^{2}+f_{y}^{2}}}}.}$

Вариации и обобщения

Гиперповерхности

Рассмотрим гиперповерхность в m-мерном евклидовом пространстве со скалярным произведением ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$. Пусть ${\displaystyle {r}:\mathbb {R} ^{m-1}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}}$ — локальная карта поверхности в точке ${\displaystyle P}$.

Тогда коэффициенты второй квадратичной формы вычисляется по формуле

${\displaystyle q_{ij}={\biggl \langle }{n},{\frac {\partial ^{2}{r}}{\partial u^{i}\partial u^{j}}}{\biggr \rangle },\ \ \ i,j=1,\ldots ,m-1,}$

где ${\displaystyle n}$ обозначает единичный вектор нормали.

Бо́льшая коразмерность

Вторая фундаментальная форма определяется также и для подмногообразий произвольной коразмерности.^[1][2]

${\displaystyle \mathrm {I\!I} (v,w)=\nabla _{v}^{\bot }w,}$

где ${\displaystyle \nabla _{v}^{\bot }w}$ обозначает проекцию ковариантной производной ${\displaystyle \nabla _{v}w}$ на нормальное пространство.

В этом случае вторая фундаментальная форма является билинейной формой на касательном пространстве со значениями в нормальном пространстве. Оператор формы ${\displaystyle S_{\xi }}$ зависит от нормального вектора ${\displaystyle \xi }$ и определяется через следующее соотношение:

${\displaystyle \langle S_{\xi }v,w\rangle =-\langle \mathrm {I\!I} (v,w),\xi \rangle .}$

Для подмногообразий евклидова пространства тензор кривизны подмногообразия может быть посчитан с помощью так называемой формулы Гаусса:

${\displaystyle \langle R(u,v)w,z\rangle =\langle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (u,z),\mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,w)\rangle -\langle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (u,w),\mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,z)\rangle .}$

Для подмногообразий риманова многообразия следует добавить кривизну объемлющего пространства; если многообразие ${\displaystyle N}$ вложено в риманово многообразие ${\displaystyle (M,g)}$ тогда тензор кривизны ${\displaystyle R_{N}}$ многообразия ${\displaystyle N}$ снабжённого индуцированой метрикой задаётся второй фундаментальной формой и тензором кривизны ${\displaystyle R_{M}}$ объемлющего многообразия ${\displaystyle M}$:

${\displaystyle \langle R_{N}(u,v)w,z\rangle =\langle R_{M}(u,v)w,z\rangle +\langle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (u,z),\mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,w)\rangle -\langle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (u,w),\mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,z)\rangle .}$

По теореме Картана^[3][4], вторая квадратичная форма для вложения плоского ${\displaystyle n}$-мерного многообразия в ${\displaystyle 2{\cdot }n}$-мерное Евклидово пространство либо вырождена, то есть существует ненулевой касательный вектор ${\displaystyle v}$ такой, что

${\displaystyle \mathrm {I\!I} (v,w)=0}$

для любого касательного вектора ${\displaystyle w}$, либо она представляется в следующем виде:

${\displaystyle \mathrm {I\!I} (v,w)=\sum _{i}\ell _{i}(v)\cdot \ell _{i}(w)\cdot e_{i},}$

где ${\displaystyle e_{1},\dots ,e_{n}}$ — ортонормированный базис в нормальном пространстве и ${\displaystyle \ell _{1},\dots ,\ell _{n}}$ — линейно независимые линейные функции на касательном пространстве.

В частности, вторая квадратичная форма вложения плоского ${\displaystyle n}$-мерного многообразия в Евклидово пространство размерности меньше ${\displaystyle 2{\cdot }n}$ является вырожденной.

См. также

• Первая квадратичная форма
• Третья квадратичная форма
• Уравнения Петерсона ― Кодацци — полный набор соотношений для первой и второй квадратичной формы поверхности.