Теорема Паули

Теорема Паули (теорема о связи спина со статистикой) — фундаментальная теорема квантовой теории поля, устанавливающая связь трансформационных свойств классических полей и методов его квантования. Впервые сформулирована и доказана Вольфгангом Паули в статье «Связь между спином и статистикой», поступившей 19 августа 1940 года в редакцию Physical Review^[1][2]. Теорема о связи спина со статистикой является одним из наиболее важных следствий специальной теории относительности^[3].

Формулировка

Формулировка теоремы Паули^[4]:

Классические поля, описывающие частицы с целым спином, квантуются по Бозе — Эйнштейну, а классические поля, описывающие частицы с полуцелым спином, квантуются по Ферми — Дираку.

Фактически, это означает, что фермионы, то есть частицы с полуцелым спином, антисимметричны, то есть при «перестановке» двух частиц состояние всей системы меняет знак, а частицы с целым спином (бозоны) — симметричны.

Средства доказательства

Для доказательства теоремы о связи спина со статистикой (теоремы Паули) используются два постулата квантовой теории поля:

• Операторнозначные функции двух квантовых наблюдаемых, относящихся к различным пространственно-временным точкам, разделённым пространственно-подобным интервалом, коммутируют^[5];
• Энергия квантовополевой системы положительно определена^[6].

Для доказательства теоремы важна локальность квантовой теории поля.

Вариации и обобщение

Теорема Паули была доказана для идеализированного случая свободных классических полей^[7]. Для взаимодействующих полей утверждение аналогичное теореме Паули было доказано в рамках так называемой аксиоматической квантовой теории поля^[8][9]. Теорема Паули может быть доказана с использованием теоремы Вайнберга о связи полей с частицами^[10].

Следствия

Из теоремы Паули вытекает вид перестановочных соотношений между операторами рождения и уничтожения частиц: бозонные операторы должны быть связаны отношениями коммутации, фермионные — антикоммутации.

Из теоремы Паули следует принцип запрета Паули нерелятивистской квантовой механики о невозможности нахождения двух невзаимодействующих фермионов в одном и том же квантовом состоянии.