Теорема Вайнберга о связи полей с частицами

Теорема Вайнберга о связи полей с частицами — утверждение о связи между видом фурье-образов квантованных полей и операторами рождения и уничтожения частиц положительной массы. Доказана С. Вайнбергом в 1964 году ^[1][2][3][4]. Следствием этой теоремы являются зависимость типов полей от спина их квантов. При добавлении условия неприводимости поля по отношению к группе Пуанкаре можно получить уравнение Дирака для электрона, Вейля для нейтрино, Максвелла для фотона^[5].

Формулировка

Для частиц положительной массы фурье-образы квантованных полей связаны с операторами рождения и уничтожения частиц линейными соотношениями^[6]:

${\displaystyle \alpha _{\sigma }(p)=\sum _{\tau =-j}^{j}X_{\sigma \tau }(p)a_{\tau }(p),}$

${\displaystyle \beta _{\sigma }^{+}(p)=\sum _{\tau =-j}^{j}Y_{\sigma \tau }(p)b_{\tau }^{+}(p).}$

Пояснения

Оператор ${\displaystyle a_{\sigma }(p)^{+}}$ является оператором рождения новой частицы с импульсом ${\displaystyle p}$ и состоянием поляризации ${\displaystyle \sigma }$. Оператор ${\displaystyle a_{\sigma }(p)}$ является оператором уничтожения существующей частицы с импульсом ${\displaystyle p}$ и состоянием поляризации ${\displaystyle \sigma }$. Оператор ${\displaystyle b_{\sigma }(p)^{+}}$ является оператором рождения новой античастицы с импульсом ${\displaystyle p}$ и состоянием поляризации ${\displaystyle \sigma }$. Оператор ${\displaystyle b_{\sigma }(p)}$ является оператором уничтожения существующей античастицы с импульсом ${\displaystyle p}$ и состоянием поляризации ${\displaystyle \sigma }$. Состояние поляризации ${\displaystyle \sigma }$ может принимать значения ${\displaystyle \sigma =-j,-j+1,..,j-1,j}$, где ${\displaystyle j}$ — спин квантов поля. Эти операторы удовлетворяют перестановочным соотношениям:

${\displaystyle [a_{\sigma }(p),a_{\tau }^{+}(p)]_{\pm }=\delta _{\sigma \tau }\delta (p-p'),}$

${\displaystyle [b_{\sigma }(p),b_{\tau }^{+}(p)]_{\pm }=\delta _{\sigma \tau }\delta (p-p').}$

Выражения ${\displaystyle \alpha _{\sigma }(p)}$ и ${\displaystyle \beta _{\sigma }^{+}(p)}$ обозначают фурье-образы квантованного поля ${\displaystyle \psi _{\sigma }(x)}$, из формулы

${\displaystyle \psi _{\sigma }(x)={(2\pi )}^{-{\frac {3}{2}}}\int \left\{\alpha _{\sigma }(p)e^{-i(px)}+\beta _{\sigma }^{+}e^{i(px)}\right\}\delta (p^{2}-m^{2})\theta (p^{0})dp,}$

где ${\displaystyle (px)=p^{0}x^{0}-p^{1}x^{1}-p^{2}x^{2}-p^{3}x^{3}}$, функция ${\displaystyle \theta (p^{0})}$ равна единице при ${\displaystyle p^{0}>0}$ и нулю при ${\displaystyle p^{0}<0}$^[7]. Выражения ${\displaystyle X_{\sigma \tau }(p)}$ и ${\displaystyle Y_{\sigma \tau }(p)}$ обозначают коэффициенты, однозначно вычисляемые при помощи использования свойств преобразований квантованных полей относительно группы Лоренца^[8].

Следствия

С использованием сформулированной выше теоремы Вайнберга о связи полей с частицами ^[9] может быть доказана, как следствие, Теорема Паули.