Теорема Решетняка о мажоризации

Теорема Решетняка о мажоризации — удобная характеризация CAT(k) пространств.

Доказана Юрием Григорьевичем Решетняком в 1960, в той же статье он доказал теорему о склеивании.

Формулировка

Пусть ${\displaystyle X}$ — CAT(κ) пространство и ${\displaystyle \gamma \colon \mathbb {S} ^{1}\to X}$ замкнутая спрямляемая кривая. В слуачае если ${\displaystyle \kappa >0}$, предположим дополнительно, что ${\displaystyle \gamma }$ короче чем ${\displaystyle {\tfrac {2\cdot \pi }{\sqrt {\kappa }}}}$. Тогда найдётся выпуклая фигура ${\displaystyle \Phi }$ в ${\displaystyle \kappa }$-плоскости сравнения с периметром равным длине ${\displaystyle \gamma }$ и короткое отображение ${\displaystyle s:\Phi \to X}$ такое, сужение ${\displaystyle s|_{\partial \Phi }}$ совпадает с ${\displaystyle \gamma }$.

Замечания

• Отображение ${\displaystyle s:\Phi \to X}$ в формулировке называется мажоризацией ${\displaystyle \gamma }$.
• Выпуклая фигура ${\displaystyle \Phi }$ называется мажоризатором ${\displaystyle \gamma }$.

Следствия

• Любая замкнутая геодезическая в CAT(1) пространстве имеет длину не меньше ${\displaystyle 2\cdot \pi }$.

Литература

• Ю. Г. Решетняк. К теории пространств кривизны, не большей K // Матем. сб.. — 1960. — Т. 52(94), № 3. — С. 789—798.