Теорема Рохлина о сигнатуре

Теорема Рохлина о сигнатуре — теорема четырёхмерной топологии. Доказана Владимиром Абрамовичем Рохлиным в 1952 году.

Формулировка

Предположим гладкое замкнутое односвязное 4-мерное многообразие ${\displaystyle M}$ удовлетворяет одному из следующих эквивалентных условий:

• ${\displaystyle M}$ имеет спинорную структуру^[англ.]*.
• ${\displaystyle w_{2}(M)=0}$; то есть, второй класс Штифеля — Уитни равен нулю.
• Форма пересечений ${\displaystyle M}$ чётна.

Тогда сигнатура его формы пересечения делится на 16.

Замечания

• По теореме Джахита Арфа, любая чётная унимодулярная решетка имеет сигнатуру, кратную 8, поэтому теорема Рохлина влечёт всего лишь одну дополнительную двойку, делящую сигнатуру. По этой причине теорема иногда называется «Рохлинской двойкой»

• Поверхность K3 компактна, четырехмерна и ${\displaystyle w_{2}(M)=0}$, а её сигнатура равна 16. В частности, делимость в теореме Рохлина невозможно улучшить.

• Комплексная поверхность в ${\displaystyle \mathbb {C} \mathrm {P} ^{3}}$ степени ${\displaystyle d}$ имеет сигнатуру ${\displaystyle (4-d^{2})d/3}$, что видно из теоремы Фридриха Хирцебруха о роде многообразия. При ${\displaystyle d=4}$ получаем K3-поверхность.

• Многообразие E8 Майкла Фридмана является односвязным компактным топологическим многообразием с ${\displaystyle w_{2}(M)=0}$ и форма пересечения ${\displaystyle E_{8}}$ signature 8. Из теоремы Рохлина следует, что это многообразие не имеет гладкой структуры. В частности теорема Рохлина неверна для топологических (не гладких) многообразий.

• Если многообразие ${\displaystyle M}$ односвязно (или, в более общем случае, если первая группа гомологий не имеет 2-кручения), то ${\displaystyle w_{2}(M)=0}$ эквивалентно чётности формы пересечения. Для неодносвязных многообразий это не так: поверхность Энриквеса^[англ.] представляет собой компактное гладкое 4-многообразие и имеет чётную форму пересечения, но ${\displaystyle w_{2}(M)\neq 0}$.

О доказательствах

• Теорема Рохлина может быть выведена из того факта, что третья устойчивая гомотопическая группа сфер ${\displaystyle \pi _{3}^{S}}$ является циклической порядка 24; это оригинальный подход Рохлина.

• Её можно вывести из теоремы Атьи — Зингера об индексе.

• Робион Кёрби дал другое доказательство.

Ссылки

• Александр Александрович Гайфуллин, Рохлинская двойка, занатия (часть 1) + (часть 2) + (часть 3) на YouTube.