Теорема Руше

Теорема Руше — утверждение о голоморфных функциях в комплексном анализе.

Формулировка

Пусть ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} }$ есть область, ограниченная кусочно гладкой жордановой кривой. Предположим, что функции ${\displaystyle f(z)}$ и ${\displaystyle g(z)}$ голоморфны в области ${\displaystyle G\supset {\overline {D}}}$ и выполнено неравенство ${\displaystyle |g(z)|<|f(z)|\ \ \forall \ z\in \partial D}$. ^[1] Тогда функции ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle h=f+g}$ имеют в области ${\displaystyle D}$ одинаковое число нулей, при условии, что каждый ноль подсчитан с учётом кратности, а также имеет место равенство

${\displaystyle {}\ \int \limits _{\partial D}{\frac {h'(z)}{h(z)}}dz=\int \limits _{\partial D}{\frac {f'(z)}{f(z)}}dz.}$

Ссылки

• Beardon, Alan. Complex Analysis: the Winding Number principle in analysis and topology (англ.). — John Wiley and Sons, 1979. — P. 131. — ISBN 0-471-99672-6.
• Titchmarsh, E. C. The Theory of Functions (англ.). — 2nd. — Oxford University Press, 1939. — P. 117—119, 198—203. — ISBN 0-19-853349-7.
• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1976.
• А.В. Домрин, А.Г. Сергеев. Лекции по комплексному анализу. Мː МИАН, 2004.