Теорема Эйлера о треугольнике

Формула Эйлера — теорема планиметрии, связывает расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей и их радиусами.

Теорема названа в честь Леонарда Эйлера, который опубликовал её в 1765 году.^[1] Однако тот же результат был получен ранее Уильямом Чапплом^[англ.] в 1746 году^[2].

Объяснение

Расстояние ${\displaystyle d}$ между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника может быть определено по формуле

${\displaystyle d^{2}=R^{2}-2Rr.}$

где ${\displaystyle R}$ — радиус описанной, ${\displaystyle r}$ — радиус вписанной окружности.

В 1969 году Георгий Александров дал развернутую формулу:

${\displaystyle d^{2}={\frac {a\,b\,c\,}{a+b+c}}\left[{\frac {a\,b\,c\,}{(a+b-c)\,(a-b+c)\,(-a+b+c)}}-1\right]}$

где ${\displaystyle a,b,c}$ — стороны треугольника.

Замечания

• Приведённую формулу можно переписать следующим образом

  ${\displaystyle {\frac {1}{R-d}}+{\frac {1}{R+d}}={\frac {1}{r}}}$.

или

${\displaystyle (R-r)^{2}=d^{2}+r^{2},}$

• Из теоремы следует так называемое неравенство Эйлера

  ${\displaystyle R\geq 2r}$.

  • Существует более сильная форма этого неравенства^{[3]:с. 198}, а именно:

    ${\displaystyle {\frac {R}{r}}\geq {\frac {abc+a^{3}+b^{3}+c^{3}}{2abc}}\geq {\frac {a}{b}}+{\frac {b}{c}}+{\frac {c}{a}}-1\geq {\frac {2}{3}}\left({\frac {a}{b}}+{\frac {b}{c}}+{\frac {c}{a}}\right)\geq 2,}$

где ${\displaystyle a,b,c}$ — стороны треугольника.

• Для сферического треугольника отношение радиуса описанной окружности к радиусу вписанной может быть меньше 2. Более того, для любого числа между 1 и 2 существует правильный сферический треугольник с отношением радиуса описанной к радиусу вписанной окружности, равным этому числу.

Вариации и обобщения

Для центра вневписанной окружности

Для вневписанных окружностей уравнение выглядит похоже:

${\displaystyle (R+r_{out})^{2}=d_{out}^{2}+r_{out}^{2},}$

где ${\displaystyle r_{out}}$ — радиус одной из вневписанных окружностей, а ${\displaystyle d_{out}}$ — расстояние от центра описанной окружности до центра этой вневписанной окружности^[4][5][6].

Для многоугольников

Во вписанно-описанном четырёхугольнике ABCD с центрами вписанной и вписанной окружностей соответственно I и О.

• Для радиусов ${\displaystyle R}$ и ${\displaystyle r}$ соответственно описанной и вписанной окружностей данного вписанно-описанного четырёхугольника (см. рис.) и расстояния ${\displaystyle d=x}$ между центрами этих окружностей выполняется соотношение:

  ${\displaystyle {\frac {1}{(R+d)^{2}}}+{\frac {1}{(R-d)^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}}}$,

или эквивалентно,

${\displaystyle d^{2}=R^{2}+r^{2}-r{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}}$

• Это соотношение называют Теоремой Фусса^[англ.]. Оно получено Николаем Ивановичем Фуссом^[7] в 1792 году.

• Теорема Кэли о цепи Понселе обобщает теорему Эйлера на вписанно-описанные ${\displaystyle n}$-угольники^[1].

См. также

• Поризм Понселе