Теорема монотонности Александрова

Теорема монотонности Александрова — теорема о выпуклых многогранниках, доказанная А. Д. Александровым в 1937 году^[1],^[2],^[3].

Формулировки

Прямая

Если между гранями двух замкнутых выпуклых многогранников в трёхмерном евклидовом пространстве установлено взаимно-однозначное соответствие так, что (i) единичные нормали к соответствующим граням совпадают и (ii) ни одну из граней нельзя поместить внутри соответствующей ей грани параллельным переносом, то многогранники получаются один из другого параллельным переносом (и, в частности, они конгруэнтны).

Через монотонные функции

Функция ${\displaystyle f(Q)}$ называется монотонной функцией многоугольника ${\displaystyle Q}$, если она обладает свойством: ${\displaystyle f(Q_{1})>f(Q_{2})}$, если ${\displaystyle Q_{2}}$ можно поместить внутри ${\displaystyle Q_{1}}$.

Пусть ${\displaystyle P_{1}}$ и ${\displaystyle P_{2}}$ — замкнутые выпуклые многогранники в трёхмерном евклидовом пространстве с гранями ${\displaystyle Q_{1}^{1},\dots ,Q_{1}^{n}}$ и ${\displaystyle Q_{2}^{1},\dots ,Q_{2}^{n}}$ соответственно, причём для любого ${\displaystyle k=1,\dots ,n}$ выполнены условия: (i) единичные нормали к граням ${\displaystyle Q_{1}^{k}}$ и ${\displaystyle Q_{2}^{k}}$ совпадают и (ii) существует монотонная функция ${\displaystyle f_{k}}$ такая, что ${\displaystyle f_{k}(Q_{1}^{k})=f_{k}(Q_{2}^{k})}$. Тогда многогранники ${\displaystyle P_{1}}$ и ${\displaystyle P_{2}}$ получаются один из другого параллельным переносом (и, в частности, они конгруэнтны).

Замечания

• Для трёхмерного пространства теорема Александрова о выпуклых многогранниках обобщает теорему единственности Минковского, утверждающую, что «два равных многогранника с попарно параллельными и равновеликими гранями равны и параллельно расположены». В самом деле, в качестве монотонной функции многоугольника ${\displaystyle f(Q)}$ здесь достаточно взять площадь.
• Утверждение, получающееся из теоремы Александрова о выпуклых многогранниках, если в ней в качестве монотонной функции многоугольника ${\displaystyle f(Q)}$ взять периметр, интересно в тем, что уже более 70 лет геометры не могут найти соответствующей теоремы существования.
• В евклидовом пространстве размерности 2 утверждение, аналогичное теореме Александрова о выпуклых многогранниках, верно, но тривиально.
• В евклидовом пространстве размерности 4 (и во всех более высоких размерностях) утверждение, аналогичное теореме Александрова о выпуклых многогранниках, неверно. В качестве контрпримера можно взять четырёхмерный куб с ребром 2 и четырёхмерный прямоугольный параллелепипед с рёбрами 1, 1, 3, 3.
• О равенстве многомерных выпуклых многогранников при невмещаемости их параллельных двумерных граней, см ^[4].

См. также

• Теорема Александрова о развёртке многогранника