Теорема об универсальных коэффициентах

Теорема об универсальных коэффициентах в алгебраической топологии устанавливает связь между целочисленными гомологиями топологического пространства X и его гомологиями с коэффициентами в произвольной абелевой группе A. Она утверждает, что группы целочисленных гомологий ${\displaystyle H_{i}(X,\mathbb {Z} )}$ полностью определяют группы ${\displaystyle H_{i}(X,A)}$, причём гомологии могут быть как симплициальными так и сингулярными — это общий результат гомологической алгебры о цепных комплексах свободных абелевых групп.

Утверждение теоремы

Рассмотрим тензорное произведение ${\displaystyle H_{i}(X,\mathbb {Z} )\otimes A}$. Теорема утверждает, что существует инъективный гомоморфизм этой группы в ${\displaystyle H_{i}(X,A)}$ с коядром ${\displaystyle {\mbox{Tor}}(H_{i-1}(X,\mathbb {Z} ),A)}$.

Другими словами, существует естественная короткая точная последовательность

${\displaystyle 0\rightarrow H_{i}(X,\mathbb {Z} )\otimes A\rightarrow H_{i}(X,A)\rightarrow {\mbox{Tor}}(H_{i-1}(X,\mathbb {Z} ),A)\rightarrow 0.}$

Более того, эта последовательность расщепляется, но расщепление не является естественным.

Теорема об универсальных коэффициентах для когомологий

Существует аналогичная теорема для когомологий, вовлекающая функтор Ext, которая утверждает, что существует короткая точная последовательность

${\displaystyle 0\rightarrow {\mbox{Ext}}(H_{i-1}(X,\mathbb {Z} ),A)\rightarrow H^{i}(X,A)\rightarrow {\mbox{Hom}}(H_{i}(X,\mathbb {Z} ),A)\rightarrow 0.}$

Как и в случае гомологий последовательность расщепляется, хотя и не естественным образом.

Литература

• Дольд А. Лекции по алгебраической топологии. — М.: Мир, 1976
• Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. Курс гомотопической топологии. — М.: Наука, 1989