Теорема о равнобедренном треугольнике

Теорема о равнобедренном треугольнике — классическая теорема геометрии, утверждающая, что углы, противолежащие боковым сторонам равнобедренного треугольника, равны. Эта теорема появляется как предложение 5 книги 1 «Начал» Евклида.

Справедливо и обратное утверждение: если два угла невырожденного треугольника равны, то стороны, противоположные им, также равны. Теорема справедлива в абсолютной геометрии, а значит и в геометрии Лобачевского, она выполняется также в сферической геометрии.

Pons asinorum

Чертёж в доказательстве Евклида

Эту теорему, как и (реже) Теорему Пифагора, иногда называют лат. pons asinorum^[1] — «мост ослов». Словосочетание известно с 1645 г.^[2]

Существуют два возможных объяснения такого названия. Одно состоит в том, что чертёж, используемый в доказательстве Евклида напоминал мост. Другое объяснение в том, что это первое серьёзное доказательство в «Началах» Евклида — «ослы» его осилить не могут^[1].

Доказательства

Евклида и Прокла

Евклид доказывает дополнительно, что если боковые стороны треугольника продолжить за основание, то углы между продолжениями и основанием тоже равны. То есть, ${\displaystyle \measuredangle CBF=\measuredangle BCG}$ на чертеже к доказательству Евклида.

Прокл указывает на то, что Евклид никогда не использует это дополнительное утверждение и его доказательство можно немного упростить, проведя вспомогательные отрезки к боковым сторонам треугольника, а не к их продолжениям. Остальная часть доказательства проходит почти без изменений. Прокл предположил, что второй вывод может быть использован как обоснование в доказательстве последующего предложения, где Евклид не рассмотрел все случаи.

Доказательство Прокла

Доказательство опирается на предыдущее предложение в «Началах» — на то, что сегодня называют признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними.

Доказательство Прокла

Пусть ${\displaystyle \triangle ABC}$ — равнобедренный треугольник с равными сторонами ${\displaystyle AB}$ и ${\displaystyle AC}$. Отметим произвольную точку ${\displaystyle D}$ на стороне ${\displaystyle AB}$ и построим точку ${\displaystyle E}$ на стороне ${\displaystyle AC}$ так, что ${\displaystyle AD=AE}$. Проведём отрезки ${\displaystyle DC}$, ${\displaystyle BE}$ и ${\displaystyle DE}$. Поскольку ${\displaystyle AD=AE}$, ${\displaystyle AB=AC}$ и угол ${\displaystyle \angle A}$ общий, по равенству двух сторон и угла между ними, ${\displaystyle \triangle BAE\cong \triangle CAD}$, а значит равны их соответствующие стороны и углы. Отсюда угол ${\displaystyle \measuredangle ABE=\measuredangle ACD}$ и ${\displaystyle \measuredangle AEB=\measuredangle ADC}$ и ${\displaystyle BE=CD}$. Поскольку ${\displaystyle AB=AC}$ и ${\displaystyle AD=AE}$, вычитания из равных частей равные получаем ${\displaystyle BD=CE}$. Применяя вновь признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними, получаем, что ${\displaystyle \triangle DBE\cong \triangle ECD}$. Отсюда ${\displaystyle \measuredangle BDE=\measuredangle CED}$ и ${\displaystyle \measuredangle BED=\measuredangle CDE}$. Вычитания из равных частей равные получаем ${\displaystyle \measuredangle BDC=\measuredangle CEB}$. Вновь по тому же признаку, получаем, что ${\displaystyle \triangle BDC\cong \triangle CEB}$. Следовательно ${\displaystyle \measuredangle B=\measuredangle C}$.

Папп

Прокл также приводит очень короткое доказательство, приписываемое Паппу. Оно проще и не требует дополнительных построений. В доказательстве применяется признак равенства по двум сторонам и углу между ними к треугольнику и его зеркальному отражению.

Доказательство Паппа

Пусть ${\displaystyle \triangle ABC}$ — равнобедренный треугольник с равными сторонами ${\displaystyle AB}$ и ${\displaystyle AC}$. Применив признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними, получаем ${\displaystyle \triangle ABC\cong \triangle ACB}$. Действительно, эти треугольники имеют общий угол при вершине ${\displaystyle A}$ и равные прилежащие стороны ${\displaystyle AB=AC}$. В частности, ${\displaystyle \measuredangle B=\measuredangle C}$.

Другие

Доказательство Паппа иногда сбивает учеников тем, что нужно сравнивать треугольник «с самим собой». Поэтому, часто в учебниках даётся следующее более длинное доказательство. Оно проще чем доказательство Евклида, но использует понятие биссектрисы. В «Началах» построение биссектрисы угла приводится только в предложении 9. Поэтому порядок изложения приходится менять, чтобы избежать возможности кругового рассуждения.

Доказательство

Пусть ${\displaystyle \triangle ABC}$ — равнобедренный треугольник с равными сторонами ${\displaystyle AB}$ и ${\displaystyle AC}$. Проведём биссектрису угла ${\displaystyle \angle A}$. Пусть ${\displaystyle X}$ — точка пересечения биссектрисы со стороной ${\displaystyle BC}$. Заметим, что ${\displaystyle \triangle BAX\cong \triangle CAX}$ поскольку ${\displaystyle \measuredangle BAX=\measuredangle CAX}$, ${\displaystyle AB=AC}$ и ${\displaystyle AX}$ общая сторона. Значит ${\displaystyle \measuredangle B=\measuredangle C}$.

Лежандр использует подобные конструкции в своих «Éléments de géométrie», но, принимая ${\displaystyle X}$ как середину ${\displaystyle BC}$. Доказательство аналогично, но использует признак равенства треугольников по трём сторонам.