Теорема о рациональных корнях

В алгебре теоре́ма о рациона́льных корня́х (также тест на рациона́льные ко́рни) определяет рамки для рациональных корней многочлена вида:

${\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{0}=0}$

с целыми коэффициентами ${\displaystyle a_{i}}$и ${\displaystyle a_{0},a_{n}\neq 0}$.

Теорема утверждает, что каждый рациональный корень ${\displaystyle x=p/q}$, где ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle q}$ — взаимно простые числа, удовлетворяет условию, что

• ${\displaystyle p}$ является делителем свободного члена ${\displaystyle a_{0}}$,

• ${\displaystyle q}$ является делителем старшего коэффициента ${\displaystyle a_{n}}$.

Теорема о рациональных корнях является частным случаем леммы Гаусса.

Применение

Теорема используется для нахождения всех рациональных корней многочлена, если таковые существуют. С её помощью определяется конечное количество возможных решений, подлежащих проверке подстановкой. Если рациональный корень ${\displaystyle x=r}$ найден, исходный многочлен может быть поделён без остатка на ${\displaystyle (x-r)}$ с получением многочлена меньшей степени, чьи корни также являются корнями исходного многочлена.

Кубическое уравнение

Кубическое уравнение в общем виде:

${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}$

с целыми коэффициентами имеет три решения в комплексных числах. Если тест на рациональные корни не выявляет таковых, то единственным способом выражения решений является использование кубических корней. Однако в случае выявления хотя бы одного рационального решения r, вынесение (x-r) за скобки приводит к квадратному уравнению, которое возможно решить через дискриминант.

Доказательство

Пусть:

${\displaystyle P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0},a_{0},...a_{n}\in Z}$.

Предположим, что ${\displaystyle P(p/q)=0}$ для некоторых взаимно простых целых ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle q}$:

${\displaystyle P\left({\frac {p}{q}}\right)=a_{n}\left({\frac {p}{q}}\right)^{n}+a_{n-1}\left({\frac {p}{q}}\right)^{n-1}+...+a_{1}\left({\frac {p}{q}}\right)+a_{0}=0}$.

Умножая обе части уравнения на ${\displaystyle q^{n}}$, вынося ${\displaystyle p}$ за скобки и перенося свободный член с противоположным знаком в правую часть уравнения, получаем:

${\displaystyle p(a_{n}p^{n-1}+a_{n-1}qp^{n-2}+...+a_{1}q^{n-1})=-a_{0}q^{n}}$.

Видно, что ${\displaystyle p}$ является делителем ${\displaystyle a_{0}q^{n}}$. Но ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle q}$ — взаимно простые числа, значит, ${\displaystyle p}$ также должно быть делителем ${\displaystyle a_{0}}$.

Если, напротив, перенести старший член в правую часть уравнения и вынести ${\displaystyle q}$ за скобки, получим:

${\displaystyle q(a_{n-1}p^{n-1}+a_{n-2}qp^{n-2}+...+a_{0}q^{n-1})=-a_{n}p^{n}}$.

Сделаем вывод о делимости ${\displaystyle a_{n}}$ на ${\displaystyle q}$^[1].

Примеры

Пример 1

Каждый рациональный корень многочлена

${\displaystyle 2x^{3}+x-1}$

должен иметь делитель единицы в числителе и делитель двойки в знаменателе. Таким образом, возможными рациональными корнями являются ${\displaystyle \pm {\frac {1}{2}}}$ и ${\displaystyle \pm 1}$. Однако ни один из них не обращает выражение в ноль, следовательно, многочлен рациональных корней не имеет.

Пример 2

Каждый рациональный корень многочлена

${\displaystyle x^{3}-7x+6}$

должен иметь делитель шестерки в числителе и делитель единицы в знаменателе, откуда возможными корнями являются ${\displaystyle \pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 6}$. Из них ${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle 2}$ и ${\displaystyle -3}$ обращают выражение в ноль, являясь, таким образом, корнями многочлена.