Дискриминант

У этого термина существуют и другие значения, см. Дискриминант (значения).

Дискримина́нт многочлена — математическое понятие (в алгебре), обозначаемое буквами ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ или ${\displaystyle \Delta }$ ^[1].

Для многочлена ${\displaystyle p(x)=a_{0}+a_{1}x+\cdots +a_{n}x^{n}}$, ${\displaystyle a_{n}\neq 0}$, его дискриминант есть произведение

${\displaystyle {\mathcal {D}}(p)=a_{n}^{2n-2}\prod _{i\neq j}^{\frac {n^{2}-n}{2}}(\alpha _{i}-\alpha _{j})^{2}}$,

где ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}}$ — все корни многочлена (с учётом кратностей) в некотором расширении основного поля, в котором они существуют.

Дискриминант - это такое число, которое определяет характер корней многочлена:

• Если ${\displaystyle {\mathcal {D}}(p)>0}$, это означает, что корни уравнения являются действительными числами, и все они различны. Геометрически, график ${\displaystyle p(x)}$ пересекает ось ${\displaystyle x}$ в ${\displaystyle n}$-разных местах.
• Если ${\displaystyle {\mathcal {D}}(p)=0}$, это означает, что некоторые из корней (или все) совпадают, т.е. кратны. Геометрически, график ${\displaystyle p(x)}$ касается ось ${\displaystyle x}$ в некоторых местах (или во всех).
• Если ${\displaystyle {\mathcal {D}}(p)<0}$, это означает, что некоторые из корней (или все) комплексные числа. Геометрически, график ${\displaystyle p(x)}$ будет находиться над или под осью ${\displaystyle x}$, и касаться ее только в некоторых местах (или не будет касаться вовсе).

Чаще всего используется дискриминант квадратного трёхчлена➤, знак которого определяет количество действительных корней.

Свойства

• Дискриминант равен нулю тогда и только тогда, когда многочлен имеет кратные корни.
• Дискриминант является симметрическим многочленом относительно корней многочлена и поэтому является многочленом от его коэффициентов; более того, коэффициенты этого многочлена целые независимо от расширения, в котором берутся корни.
• ${\displaystyle {\mathcal {D}}(P(\lambda +x))={\mathcal {D}}(P(x))}$
• ${\displaystyle {\mathcal {D}}(P(\lambda \cdot x))=\lambda ^{n(n-1)}{\mathcal {D}}(P(x))}$ , где ${\displaystyle \lambda =const}$
• ${\displaystyle {\mathcal {D}}(\lambda \cdot P(x))=\lambda ^{2n-2}{\mathcal {D}}(P(x))}$
• ${\displaystyle {\mathcal {D}}(x\cdot P(x))=a_{0}^{2}{\mathcal {D}}(P(x))}$
• ${\displaystyle {\mathcal {D}}((P(x))^{k})={\mathcal {D}}((x^{k}\cdot P(x)))=0}$, при ${\displaystyle k>1}$
• ${\displaystyle {\mathcal {D}}(P(x))={\dfrac {(-1)^{n(n-1)/2}}{a_{n}}}{\mathcal {R}}(P(x),P'(x))}$, где ${\displaystyle {\mathcal {R}}(P(x),P'(x))}$ — результант многочлена ${\displaystyle P(x)}$ и его производной ${\displaystyle P'(x)}$.
• Также дискриминант можно записать в виде определителя матрицы ${\displaystyle n\times n}$ вида

${\displaystyle {\mathcal {D}}(P(x))=a_{n}^{2n-2}{\begin{vmatrix}1&1&1&\cdots &1\\x_{1}&x_{2}&x_{3}&\cdots &x_{n}\\x_{1}^{2}&x_{2}^{2}&x_{3}^{2}&\cdots &x_{n}^{2}\\x_{1}^{3}&x_{2}^{3}&x_{3}^{3}&\cdots &x_{n}^{3}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\x_{1}^{n-1}&x_{2}^{n-1}&x_{3}^{n-1}&\cdots &x_{n}^{n-1}\\\end{vmatrix}}^{2}}$.

Где (${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},\cdots ,x_{n}}$) - корни уравнения от многочлена ${\displaystyle P(x)}$

Примеры

Во всех следующих примерах рассматриваются многочлены с вещественными коэффициентами и отличным от нуля старшим коэффициентом.

Многочлен второй степени

Дискриминант квадратного трёхчлена ${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$ равен ${\displaystyle {\mathcal {D}}=b^{2}-4ac.}$

• При ${\displaystyle {\mathcal {D}}>0}$ трёхчлен будет иметь два вещественных корня:

  ${\displaystyle x_{1,2}={\dfrac {-b\pm {\sqrt {\mathcal {D}}}}{2a}}={\dfrac {2c}{-b\mp {\sqrt {\mathcal {D}}}}}.}$

• При ${\displaystyle {\mathcal {D}}=0}$ — один корень кратности 2 (другими словами, два одинаковых корня):

  ${\displaystyle x=-{\dfrac {b}{2a}}.}$

• При ${\displaystyle {\mathcal {D}}<0}$ вещественных корней нет, однако есть два комплексно-сопряжённых корня, выражающиеся той же формулой, что и для положительного дискриминанта. Также её можно переписать так, чтобы она не содержала отрицательного подкоренного выражения, следующим образом:

  ${\displaystyle x_{1,2}={\dfrac {-b\pm {\sqrt {\mathcal {D}}}}{2a}}={\dfrac {-b\pm i{\sqrt {|{\mathcal {D}}|}}}{2a}}}$ или ${\displaystyle x_{1,2}={\dfrac {2c}{-b\pm {\sqrt {\mathcal {D}}}}}={\dfrac {2c}{-b\pm i{\sqrt {|{\mathcal {D}}|}}}}.}$

Геометрический смысл дискриминанта квадратного уравнения

Дискриминант квадратного трёхчлена геометрически характеризует расстояние от абсциссы точки экстремума функции ${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}$ до точки пересечения графика функции с осью Ox. Это расстояние определяется по формуле:

${\displaystyle l={\dfrac {\sqrt {\mathcal {D}}}{2a}}}$ .^[2]

Многочлен третьей степени

Дискриминант кубического многочлена ${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d}$ равен

${\displaystyle D=b^{2}c^{2}-4ac^{3}-4b^{3}d-27a^{2}d^{2}+18abcd=27\left(6a{\frac {b}{3}}{\frac {c}{3}}d-4\left(a\left({\frac {c}{3}}\right)^{3}+\left({\frac {b}{3}}\right)^{3}d\right)+3\left({\frac {b}{3}}\right)^{2}\left({\frac {c}{3}}\right)^{2}-a^{2}d^{2}\right).}$

В частности, дискриминант кубического многочлена ${\displaystyle x^{3}+px+q}$ (корни которого вычисляются по формуле Кардано) равен ${\displaystyle -4p^{3}-27q^{2}=-108\left(\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}+\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}\right).}$.

• При ${\displaystyle D>0}$ кубический многочлен имеет три различных вещественных корня.
• При ${\displaystyle D=0}$ он имеет кратный корень (либо один корень кратности 2 и один корень кратности 1, и тот, и другой вещественные; либо один-единственный вещественный корень кратности 3).
• При ${\displaystyle D<0}$ кубический многочлен имеет один вещественный корень и два комплексных корня (являющихся комплексно-сопряжёнными).

Многочлен четвёртой степени

Дискриминант многочлена четвёртой степени ${\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e}$ равен

${\displaystyle {\begin{aligned}D&=256a^{3}e^{3}-192a^{2}bde^{2}-128a^{2}c^{2}e^{2}+144a^{2}cd^{2}e-27a^{2}d^{4}\ +\\&+144ab^{2}ce^{2}-6ab^{2}d^{2}e-80abc^{2}de+18abcd^{3}+16ac^{4}e\ -\\&-4ac^{3}d^{2}-27b^{4}e^{2}+18b^{3}cde-4b^{3}d^{3}-4b^{2}c^{3}e+b^{2}c^{2}d^{2}.\end{aligned}}}$

Для многочлена ${\displaystyle x^{4}+qx^{2}+rx+s}$ дискриминант имеет вид

${\displaystyle {\begin{aligned}D&=256s^{3}-128q^{2}s^{2}+144qr^{2}s-27r^{4}+16q^{4}s-4q^{3}r^{2}=\\&=256\left(s^{3}-18\left({\frac {q}{6}}\right)^{2}s^{2}-27\left({\frac {r}{4}}\right)^{4}-54\left({\frac {q}{6}}\right)^{3}\left({\frac {r}{4}}\right)^{2}+54\left({\frac {q}{6}}\right)\left({\frac {r}{4}}\right)^{2}s+81\left({\frac {q}{6}}\right)^{4}s\right).\end{aligned}}}$

и равенство ${\displaystyle D=0}$ определяет в пространстве ${\displaystyle (q,r,s)}$ поверхность, называемую ласточкиным хвостом.

• При ${\displaystyle D<0}$ многочлен имеет два различных вещественных корня и два комплексных корня.
• При ${\displaystyle D>0}$ многочлен имеет четыре различных корня: либо все вещественные, либо все комплексные.

А именно, для многочлена ${\displaystyle x^{4}+qx^{2}+rx+s}$^[3]:

• если ${\displaystyle q\geqslant 0}$, то все корни комплексные;
• если ${\displaystyle q<0}$ и ${\displaystyle s>{\frac {q^{2}}{4}}}$, то все корни комплексные;
• если ${\displaystyle q<0}$ и ${\displaystyle s<{\frac {q^{2}}{4}}}$, то все корни вещественные.

• При ${\displaystyle D=0}$ многочлен имеет по меньшей мере один кратный корень (вещественный или комплексный). Во втором случае многочлен имеет два комплексно сопряжённых кратных корня и, следовательно, распадается в произведение двух многочленов второй степени, неприводимых над полем вещественных чисел.

Точнее^[3]:

• если ${\displaystyle q<0}$ и ${\displaystyle s>{\frac {q^{2}}{4}}}$, то один вещественный корень кратности 2 и два комплексных корня;
• если ${\displaystyle q<0}$ и ${\displaystyle -{\frac {q^{2}}{12}}<s<{\frac {q^{2}}{4}}}$, то три различных вещественных корня, один из которых кратности 2;
• если ${\displaystyle q<0}$ и ${\displaystyle s={\frac {q^{2}}{4}}}$, то два вещественных корня, каждый из которых кратности 2;
• если ${\displaystyle q<0}$ и ${\displaystyle s=-{\frac {q^{2}}{12}}}$, то два вещественных корня, один из которых кратности 3;
• если ${\displaystyle q>0}$, ${\displaystyle s>0}$ и ${\displaystyle r\neq 0}$, то один вещественный корень кратности 2 и два комплексных корня;
• если ${\displaystyle q>0}$, ${\displaystyle s={\frac {q^{2}}{4}}}$ и ${\displaystyle r=0}$, то одна пара комплексно сопряжённых корней кратности 2;
• если ${\displaystyle q>0}$ и ${\displaystyle s=0}$, то один вещественный корень кратности 2 и два комплексных корня;
• если ${\displaystyle q=0}$ и ${\displaystyle s>0}$, то один вещественный корень кратности 2 и два комплексных корня;
• если ${\displaystyle q=0}$ и ${\displaystyle s=0}$, то один вещественный корень кратности 4.

История

Термин образован от латинского слова лат. discrimino — «разбираю», «различаю». Понятие «дискриминант квадратичной формы» использовалось в работах Гаусса, Дедекинда, Кронекера, Вебера и др. Термин ввёл британский математик Джеймс Джозеф Сильвестр (1814—1897)^[4].

См. также

• Результант
• Дискриминант алгебраического числового поля

Литература

• Прасолов В. В. Многочлены. — М.: МЦНМО, 1999, 2001, 2003.