Лучшие вопросы
Таймлайн
Чат
Перспективы

Дискриминант

число, определяемое, как симметрический многочлен от корней многочлена Из Википедии, свободной энциклопедии

Remove ads

Дискримина́нт многочлена — математическое понятие (в алгебре), обозначаемое буквами или [1].

Для многочлена , , его дискриминант есть произведение

,
где  — все корни многочлена (с учётом кратностей) в некотором расширении основного поля, в котором они существуют.

Дискриминант - это такое число, которое определяет характер корней многочлена:

  • Если , это означает, что корни уравнения являются действительными числами, и все они различны. Геометрически, график пересекает ось в -разных местах.
  • Если , это означает, что некоторые из корней (или все) совпадают, т.е. кратны. Геометрически, график касается ось в некоторых местах (или во всех).
  • Если , это означает, что некоторые из корней (или все) комплексные числа. Геометрически, график будет находиться над или под осью , и касаться ее только в некоторых местах (или не будет касаться вовсе).

Чаще всего используется дискриминант квадратного трёхчлена, знак которого определяет количество действительных корней.

Remove ads

Свойства

  • Дискриминант равен нулю тогда и только тогда, когда многочлен имеет кратные корни.
  • Дискриминант является симметрическим многочленом относительно корней многочлена и поэтому является многочленом от его коэффициентов; более того, коэффициенты этого многочлена целые независимо от расширения, в котором берутся корни.
  • , где
  • , при
  • , где  — результант многочлена и его производной .
  • Также дискриминант можно записать в виде определителя матрицы вида
.

Где () - корни уравнения от многочлена

Remove ads

Примеры

Суммиров вкратце
Перспектива

Во всех следующих примерах рассматриваются многочлены с вещественными коэффициентами и отличным от нуля старшим коэффициентом.

Многочлен второй степени

Дискриминант квадратного трёхчлена равен

  • При трёхчлен будет иметь два вещественных корня:
  • При — один корень кратности 2 (другими словами, два одинаковых корня):
  • При вещественных корней нет, однако есть два комплексно-сопряжённых корня, выражающиеся той же формулой, что и для положительного дискриминанта. Также её можно переписать так, чтобы она не содержала отрицательного подкоренного выражения, следующим образом:
    или

Геометрический смысл дискриминанта квадратного уравнения

Дискриминант квадратного трёхчлена геометрически характеризует расстояние от абсциссы точки экстремума функции до точки пересечения графика функции с осью Ox. Это расстояние определяется по формуле:

.[2]

Многочлен третьей степени

Дискриминант кубического многочлена равен

В частности, дискриминант кубического многочлена (корни которого вычисляются по формуле Кардано) равен .

  • При кубический многочлен имеет три различных вещественных корня.
  • При он имеет кратный корень (либо один корень кратности 2 и один корень кратности 1, и тот, и другой вещественные; либо один-единственный вещественный корень кратности 3).
  • При кубический многочлен имеет один вещественный корень и два комплексных корня (являющихся комплексно-сопряжёнными).

Многочлен четвёртой степени

Дискриминант многочлена четвёртой степени равен

Для многочлена дискриминант имеет вид

и равенство определяет в пространстве поверхность, называемую ласточкиным хвостом.

  • При многочлен имеет два различных вещественных корня и два комплексных корня.
  • При многочлен имеет четыре различных корня: либо все вещественные, либо все комплексные.
А именно, для многочлена [3]:
  • если , то все корни комплексные;
  • если и , то все корни комплексные;
  • если и , то все корни вещественные.
  • При многочлен имеет по меньшей мере один кратный корень (вещественный или комплексный). Во втором случае многочлен имеет два комплексно сопряжённых кратных корня и, следовательно, распадается в произведение двух многочленов второй степени, неприводимых над полем вещественных чисел.
Точнее[3]:
  • если и , то один вещественный корень кратности 2 и два комплексных корня;
  • если и , то три различных вещественных корня, один из которых кратности 2;
  • если и , то два вещественных корня, каждый из которых кратности 2;
  • если и , то два вещественных корня, один из которых кратности 3;
  • если , и , то один вещественный корень кратности 2 и два комплексных корня;
  • если , и , то одна пара комплексно сопряжённых корней кратности 2;
  • если и , то один вещественный корень кратности 2 и два комплексных корня;
  • если и , то один вещественный корень кратности 2 и два комплексных корня;
  • если и , то один вещественный корень кратности 4.
Remove ads

История

Термин образован от латинского слова лат. discrimino — «разбираю», «различаю». Понятие «дискриминант квадратичной формы» использовалось в работах Гаусса, Дедекинда, Кронекера, Вебера и др. Термин ввёл британский математик Джеймс Джозеф Сильвестр (1814—1897)[4].

См. также

Литература

  • Прасолов В. В. Многочлены. М.: МЦНМО, 1999, 2001, 2003.

Примечания

Loading related searches...

Wikiwand - on

Seamless Wikipedia browsing. On steroids.

Remove ads