Тест Люка — Лемера — Ризеля

Тест Люка — Лемера — Ризеля (LLR) — тест простоты для чисел вида ${\displaystyle N=k\cdot 2^{n}-1}$ с ${\displaystyle 2^{n}>k}$ (подмножество ${\displaystyle 3\cdot 2^{n}-1}$ таких чисел называется числами Сабита). Разработан Хансом Ризелем и базируется на тесте Люка — Лемера, является самым быстрым детерминированным алгоритмом для чисел такого вида^[1].

Алгоритм

Алгоритм очень похож на тест Люка — Лемера, но начинается со значения, зависящего от ${\displaystyle k}$. Для алгоритма используется последовательность Люка ${\displaystyle \{u_{i}\}}$, задаваемая для ${\displaystyle i>0}$ формулой:

${\displaystyle u_{i}=u_{i-1}^{2}-2}$.

${\displaystyle N}$ является простым в том и только в том случае, когда оно делит ${\displaystyle u_{n-2}}$.

Поиск стартового значения

• Случай ${\displaystyle k=1}$. Если ${\displaystyle n}$ — нечётно, то берётся значение ${\displaystyle u_{0}=4}$. Если ${\displaystyle n\equiv 3{\pmod {4}}}$, то берётся ${\displaystyle u_{0}=3}$. Для простого ${\displaystyle n}$ — это числа Мерсенна.
• Случай ${\displaystyle k=3}$. Значение ${\displaystyle u_{0}=5778}$ можно использовать для всех ${\displaystyle n\equiv 0,3{\pmod {4}}}$n ≡ 0, 3 (mod 4).
• Если ${\displaystyle k\equiv 1,5{\pmod {6}}}$ и ${\displaystyle N}$ не делится на 3, можно использовать значение ${\displaystyle u_{0}=(2+{\sqrt {3}})^{k}+(2-{\sqrt {3}})^{k}}$.
• В остальных случаях ${\displaystyle k}$ делится на 3 и выбрать правильное стартовое значение u₀ значительно труднее.

Альтернативный метод поиска стартового значения ${\displaystyle u_{0}}$ дан в 1994 году^[2]. Метод много проще использованного Ризелем для случая, когда 3 делит ${\displaystyle k}$. В альтернативном способе сначала находится значение ${\displaystyle P}$, удовлетворяющее следующему равенству символов Якоби:

${\displaystyle \left({\frac {P-2}{N}}\right)=1}$ и ${\displaystyle \left({\frac {P+2}{N}}\right)=-1}$.

На практике нужно проверить лишь несколько значений ${\displaystyle P}$ (5, 8, 9 или 11 перекрывают 85 %).

Чтобы получить начальное значение ${\displaystyle u_{0}}$ из ${\displaystyle P}$ можно использовать последовательность Люка ${\displaystyle (P,1)}$^[2][3]. При 3 ∤k (k не делится на 3) можно использовать значение ${\displaystyle P=4}$ и предварительный поиск не нужен. Начальное значение ${\displaystyle u_{0}}$ тогда равно последовательности Люка ${\displaystyle V_{k}(P,1)}$ по модулю ${\displaystyle N}$. Этот процесс занимает очень малое время по сравнению с основным тестом.

Механизм теста

Тест Люка — Лемера — Ризеля является частным случаем проверки простоты порядка группы. В тесте показывается, что некоторое число — простое в связи с тем, что некоторая группа имеет порядок, который был бы равен этому простому числу, для чего выявляется элемент группы, имеющий в точности нужный порядок.

В тестах, подобных тестам Люка, для числа ${\displaystyle N}$ используется мультипликативная группа квадратичного расширения целых по модулю ${\displaystyle N}$. Если ${\displaystyle N}$ — простое, порядок мультипликативной группы равен ${\displaystyle N^{2}-1}$, и она имеет подгруппу порядка ${\displaystyle N+1}$, для целей теста ищется порождающее множество этой подгруппы.

Можно найти неитеративное выражение для ${\displaystyle u_{i}}$. Следуя модели теста Люка — Лемера, положим ${\displaystyle u_{i}=a^{2^{i}}+a^{-2^{i}}}$ и получим по индукции ${\displaystyle u_{i}=u_{i-1}^{2}-2}$.

Рассмотрим 2ⁱ-ый элемент последовательности ${\displaystyle v(i)=a^{i}+a^{-i}}$. Если a удовлетворяет квадратному уравнению, это последовательность Люка, и она подчиняется выражению ${\displaystyle v(i)=\alpha v(i-1)+\beta v(i-2)}$. В действительности мы ищем ${\displaystyle k\times 2^{i}}$-ый элемент другой последовательности, но поскольку при децимации (выборка каждого k-го элемента) последовательности Люка получаем также последовательность Люка, мы можем выбирать множитель k путём выбора стартовой точки.

LLR программа

LLR — это программа, которая выполняет LLR-тест. Программа разработана Жаном Пене (Jean Penné). Винсент Пене (Vincent Penné) модифицировал программу, чтобы можно было проверять простоту числа через интернет. Программа может использоваться как для индивидуального поиска, но также включена в некоторые проекты распределенных вычислений, включая Riesel Sieve и PrimeGrid.

См. также

• Числа Ризеля