Тождество Поллачека — Спитцера

То́ждество Полла́чека — Спи́тцера — тождество, связывающее характеристическую функцию сумм независимых случайных величин.

Формулировка

При ${\displaystyle |z|<1}$ , ${\displaystyle Im\lambda \geqslant 0}$ справедливо тождество: ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }z^{n}Me^{\lambda {\overline {S_{n}}}}=\exp {\mathcal {f}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k}}Me^{i\lambda max(0,S_{k})}{\mathcal {g}}}$

Пояснения

В формулировке теоремы ${\displaystyle {\mathcal {f}}\xi _{k}{\mathcal {g}}}$ последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин. Обозначим ${\displaystyle S_{n}=\sum _{k=1}^{n}\xi _{k},S_{0}=0}$, а ${\displaystyle {\overline {S_{n}}}=\max(0,\xi _{n})=\max(0,S_{1},...,S_{n})}$. Тождество связывает характеристическую функцию ${\displaystyle {\overline {S_{n}}}}$ с характеристическими функциями ${\displaystyle \max(0,S_{n})}$.

Литература

• Боровков, А. А. Курс теории вероятностей. — М. : Наука, 1972. — С. 184.