Толерантный интервал

Толерантный интервал — термин, используемый в математической статистике при определении на основе выборочных данных интервала, который при заданном доверительным уровне содержит заданную вероятностную меру неизвестной функции распределения.

Понятия толерантного и доверительного интервалов близки друг к другу.

Толерантный интервал является интервалом в выборочном пространстве наблюденных случайных величин. Он определяется достаточной статистикой на основе требования о том, чтобы при заданном доверительном уровне содержать вероятностную меру статистического распределения, не меньшую заданного уровня.^[1]

Доверительный интервал определяется для некоторого параметра функции распределения и является интервалом в параметрическом пространстве. Он определяется достаточной статистикой на основе требования о том, чтобы вероятность того, что он содержит истинное значение неизвестного параметра была не меньше доверительного уровня.^[1]

Определение

Пусть случайная величина ${\displaystyle Y}$ не зависит от ${\displaystyle X}$ и имеет функцию распределения ${\displaystyle F_{\theta }}$. Толерантным интервалом ${\displaystyle (\beta ,\gamma )}$ с мерой ${\displaystyle \beta }$ и уровнем доверия ${\displaystyle \gamma }$ называется интервал ${\displaystyle \left[L_{1,\beta ,\gamma }(X),L_{2,\beta ,\gamma }(X)\right]}$, для которого выполняется условие ${\displaystyle P_{\theta }\left\{P_{\theta }\left\{L_{1,\beta ,\gamma }(X)\leqslant Y\leqslant L_{2,\beta ,\gamma }(X)|X\right\}\geqslant \beta \right\}\geqslant \gamma }$ для всех значений параметра ${\displaystyle \theta }$.^[2]

Пояснения

Пусть ${\displaystyle \xi }$ - квантиль функции распределения ${\displaystyle F_{\theta }}$ обозначается как ${\displaystyle F^{-1}(\xi$ ;\theta )} . По определению имеем ${\displaystyle P_{\theta }\left\{F^{-1}(\xi _{1};\theta )\leqslant X\leqslant F^{-1}(\xi _{2};\theta )\right\}\geqslant \xi _{2}-\xi _{1}}$. Интервалом меры ${\displaystyle \beta }$ функции распределения ${\displaystyle F_{\theta }}$ называется интервал ${\displaystyle \left[F^{-1}(\xi _{1};\theta ),F^{-1}(\xi _{2};\theta )\right]}$, если ${\displaystyle \beta =\xi _{2}-\xi _{1}}$.^[3]

См. также

• Доверительный интервал