Топологическое тело

Топологическое тело — тело, наделённое топологией, согласованной с основными операциями, то есть топологическое кольцо с единицей, в котором на всех ненулевых элементах определена непрерывная операция взятия обратного элемента.

Основной результат о топологических телах получен Львом Понтрягиным в 1931 году: всякое локально компактное связное топологическое тело является либо полем вещественных чисел, либо полем комплексных чисел, либо телом кватернионов^[1]. Колмогоров использовал этот результат при прямом построении действительной и комплексной проективной геометрии^[2][3].

Теорема Ковальского: локально компактное несвязное тело ${\displaystyle L}$ всюду разрывно, то есть не содержит связных подмножеств, и могут иметься два взаимно исключающих случая:

• тело ${\displaystyle L}$ имеет характеристику нуль, и тогда в нём содержится поле ${\displaystyle K_{0}^{P}=K}$ ${\displaystyle p}$-адических чисел;
• тело ${\displaystyle L}$ имеет характеристику ${\displaystyle p}$ и тогда в нём содержится поле ${\displaystyle K_{t}^{P}=K}$ рядов относительно некоторого ${\displaystyle t}$.

В обоих случаях элементы поля ${\displaystyle K}$ перестановочны по умножению с элементами тела ${\displaystyle L}$ и имеется конечный линейный базис тела ${\displaystyle L}$ над полем ${\displaystyle K}$. Именно, такая система элементов ${\displaystyle e,l_{1},\dots ,l_{\nu }}$ что каждый элемент ${\displaystyle x\in L}$ записывается в виде ${\displaystyle x=x_{0}l_{0}+x_{1}l_{1}+\dots +x_{\nu }l_{\nu }}$ (${\displaystyle x_{i}\in K}$)^[4].