Точка перегиба

Точка перегиба — точка плоской кривой, в которой её ориентированная кривизна меняет знак. Если кривая является графиком функции, то в этой точке выпуклая часть функции отделяется от вогнутой (то есть вторая производная функции меняет знак).

График функции y = x³ с точкой перегиба (0, 0), также являющейся седловой точкой.

Корни, стационарные точки, точки перегиба и выпуклость кубического многочлена x³ − 3x² − 144x + 432 (чёрная линия) и его первой и второй производных (красная и синяя линии).

Определения

Точка (простого) перегиба регулярной кривой — это такая точка этой кривой, в которой касательная к кривой имеет с ней соприкосновение второго порядка и разбивает кривую, то есть точки кривой, лежащие в некоторой окрестности данной точки по разные стороны от этой точки, лежат также по разные стороны от касательной^[1][2]. Если кривая 2-регулярна, то условие заменяется на следующее: ориентированная кривизна кривой при переходе через точку перегиба изменяет знак. Точкой высшего (вырожденного) перегиба кривой называется такая её точка, касательная к кривой в которой имеет с ней соприкосновение, порядок которого не ниже трёх, и касательная разбивает кривую^[1].

Условие смены знака ориентированной кривизны не равносильно разбиению кривой на вогнутую и выпуклую часть. Так, в случае точки возврата кривая может не иметь касательной. Для исключения этого вышеприведённых определениях требуется регулярность кривой. Более интересный случай — функция ${\displaystyle y=x^{5}(1+\sin ^{2}{\frac {1}{x}})}$ при ${\displaystyle x\neq 0,y=0}$ при ${\displaystyle x=0}$, которая в точке 0 касается оси x и пересекает её, но меняет знак вблизи нуля бесконечное число раз; здесь даже существует вторая непрерывная производная^[3]. Для исключения такого случая требуют, чтобы функция имела изолированный экстремум (см. ниже).

Точка кривой называется точкой распрямления, если кривизна кривой в этой точке равна нулю^[4]. Иногда точку распрямления кривой, не являющуюся точкой перегиба этой кривой, называют параболической точкой распрямления^[1].

Дифференцируемая функция имеет точку перегиба ${\displaystyle (x,f(x))}$ тогда и только тогда, когда её первая производная, ${\displaystyle f'}$, имеет изолированный экстремум в точке ${\displaystyle x}$ (это не то же самое, что ${\displaystyle f}$ имеет экстремум в этой точке). То есть в некоторой окрестности точки ${\displaystyle x}$ имеется одна и только одна точка, в которой ${\displaystyle f'}$ имеет (локальный) минимум или максимум. Если все экстремумы функции ${\displaystyle f'}$ изолированы, то точка перегиба — это точка на графике ${\displaystyle f}$, в которой касательная пересекает кривую^[5][6].

Высшей (вырожденной) вершиной регулярной кривой называется такая её точка, в которой соприкасающаяся окружность имеет с ней касание, порядок которого выше третьего^[1].

Восходящая точка перегиба — это точка перегиба, где производная имеет локальный минимум, и нисходящая точка перегиба— это точка перегиба, где производная имеет локальный максимум.

Для алгебраической кривой несингулярная точка является точкой перегиба тогда и только тогда, когда кратность точки пересечения касательной с кривой нечётна и больше двух^[7].

Свойства

Точка перегиба ${\displaystyle m}$ однозначно характеризуется двумя свойствами:

• в точке ${\displaystyle m}$ кривая имеет единственную касательную,
• в достаточно малой окрестности точки ${\displaystyle m}$ кривая расположена внутри одной пары противоположных углов, образуемых касательной и нормалью.

Если кривая задана как график дифференцируемой функции ${\displaystyle f}$, точка перегиба является точкой экстремума для ${\displaystyle f'}$.

Необходимое и достаточное условия

График функции f(x) = sin(2x) от −π/4 до 5π/4. Заметьте, вторая производная функции f равна f″(x) = −4sin(2x). Касательная отражена зелёным цветом, где кривая выпукла (под касательной), синим, где кривая вогнута (выше касательной), и красным цветом в точках перегиба 0, π/2 и π

Если ${\displaystyle x}$ является точкой перегиба для ${\displaystyle f}$, то вторая производная ${\displaystyle f''(x)}$ равна нулю, если существует, но это условие не является достаточным. Требуется, чтобы наименьший порядок ненулевой производной (выше второй) был нечётным (третья, пятая и т. д. производные). Если наименьший порядок ненулевой производной чётен, точка не является точкой перегиба, а является параболической точкой распрямления ^[8]. В алгебраической геометрии, однако, как точки перегиба, так и точки спрямления обычно называют точками перегиба.

Определение предполагает, что ${\displaystyle f}$ имеет ненулевую производную более высокого порядка по ${\displaystyle x}$, которая не обязательно существует. Но если таковая существует, из определения следует, что знак ${\displaystyle f'(x)}$ постоянен по обеим сторонам от ${\displaystyle x}$ в окрестности точки ${\displaystyle x}$.

Достаточное условие точки перегиба:

1) Достаточным условием точки перегиба является:

Если ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle k}$ раз непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности точки ${\displaystyle x}$, где ${\displaystyle k}$ нечётно и ${\displaystyle k\geq 3}$, ${\displaystyle f^{(n)}(x_{0})=0}$ для ${\displaystyle n=2,\dots ,k-1}$ и ${\displaystyle f^{(k)}(x_{0})\neq 0}$, то ${\displaystyle x_{0}}$ является точкой перегиба ${\displaystyle f(x)}$.

2) Другое достаточное условие требует, чтобы ${\displaystyle f''(x+\varepsilon )}$ и ${\displaystyle f''(x-\varepsilon )}$ имели разные знаки в окрестности точки x при условии, что в данной точке существует касательная^[2].

Классификация точек перегиба

Точки перегиба можно классифицировать согласно производной ${\displaystyle f'(x)}$:

• если ${\displaystyle f'(x)}$ равно нулю, точка является стационарной точкой перегиба;
• если ${\displaystyle f'(x)}$ не равно нулю, точка является нестационарной точкой перегиба.

y = x⁴ — x имеет вторую производную в точке (0,0), но она не является точкой перегиба, поскольку четвёртая производная является первым ненулевым порядком производной (третья производная равна нулю).

Примером седловой точки является точка ${\displaystyle (0,0)}$ графика ${\displaystyle y=x^{3}}$. Касательной служит ось ${\displaystyle x}$, и она разделяет график в этой точке.

Примером нестационарной точки перегиба служит точка ${\displaystyle x=0}$ гиперболического синуса ${\displaystyle f(x)=\operatorname {sh} (x)}$. Она является точкой перегиба из-за того, что ${\displaystyle (\operatorname {sh} (x))''=\operatorname {sh} (x)}$ меняет знак при прохождении через ${\displaystyle x=0}$, но ${\displaystyle (\operatorname {sh} x)'{\Big |}_{x=0}=\operatorname {ch} (0)=1}$.

Функции с разрывами

Некоторые функции меняют выпуклость/вогнутость в некоторой точке, но не имеют в этой точке перегиба. Вместо этого они могут менять кривизну при переходе вертикальной асимптоты или в точке разрыва. Возьмём, например, функцию ${\displaystyle 2x^{2}/(x^{2}-1)}$. Она выпукла при ${\displaystyle |x|>1}$ и вогнута при ${\displaystyle |x|<1}$. Однако у этой функции нет точки перегиба, поскольку ${\displaystyle 1}$ и ${\displaystyle -1}$ не принадлежат области определения функции.

См. также

• Критическая точка
• Экологический порог^[англ.]
• Конфигурация Гессе образована девятью точками перегиба эллиптической кривой
• Стрельчатая S-образная арка^[англ.], архитектурная форма с точками перегиба
• Вершина кривой, локальный минимум или максимум кривизны