Вершина кривой

Вершина кривой — точка кривой, в которой первая производная кривизны равна нулю^[1]. Как правило, это локальный максимум или минимум кривизны^[2] и некоторые авторы определяют вершину как экстремальную точку кривизны, то есть максимум или минимум кривизны^[3]. Различие определений проявляется, например, когда вторая производная кривизны равна нулю.

Эллипс (красный) и его эволюта (синяя). Точки являются вершинами кривой и каждая из них соответствует острию эволюты.

Примеры

Гипербола имеет две вершины по одной на каждой ветке. Эти вершины имеют наименьшее расстояние между двумя точками на гиперболе и лежат на главной оси. На параболе всего одна вершина и она лежит на оси симметрии^[2]. У эллипса четыре вершины, две из них лежат на большой оси и две на малой^[4].

На окружности, поскольку она имеет постоянную кривизну^[5], любая точка является вершиной.

Точки перегиба и касания

Вершины — это точки, где кривая имеет касание порядка 3 с соприкасающейся окружностью в этой точке^[6][3]. Обычно точки на кривой имеют с соприкасающейся окружностью касание второго порядка. Эволюта кривой обычно имеет касп, если кривая имеет вершину^[3]. Могут случаться и другие особые точки в вершинах большего порядка, в которых порядок соприкосновения с соприкасающейся окружностью больше трёх^[6], хотя обычно кривая не имеет вершин высокого порядка, в семействах кривых две обычные вершины могут слиться в вершину большего порядка, а затем исчезнуть.

Множество симметрии^[англ.] кривой имеет концы в каспах, соответствующих вершинам, а срединная ось, подмножество множества симметрии^[англ.], также имеет концы в каспах.

Свойства

• Согласно теореме о четырёх вершинах любая замкнутая кривая должна иметь по меньшей мере четыре вершины^[7].

• Если кривая зеркально симметрична, она имеет вершину в точке пересечения оси симметрии с кривой. Таким образом, понятие вершины кривой тесно связано оптическими точками — точками, в которых оптическая ось пересекает поверхность линзы.