Трансверсальность

У этого термина существуют и другие значения, см. Трансверсальность (значения).

Трансверсальность — условие общего положения на пересечение гладких многообразий. Иногда используется обозначение

${\displaystyle M\pitchfork N}$

Трансверсальное пересечение.

Нетрансверсальное пересечение.

для трансверсально пересекающихся подмногообразий ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle N}$.

Определение

Два гладких подмногообразия ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle N}$, вложенные в объемлющее пространство ${\displaystyle S}$, пересекаются трансверсально в точке ${\displaystyle p}$, если соответствующие касательные пространства ${\displaystyle T_{p}(M)}$ и ${\displaystyle T_{p}(N)}$ порождают всё касательное пространство объемлющего многообразия в точке ${\displaystyle p}$, то есть ${\displaystyle T_{p}(M)+T_{p}(N)=T_{p}(S)}$.

Свойства

• Условие трансверсальности пересечения является условием общего положения. То есть, если даны два произвольных гладких подмногообразия ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle N}$, то произвольно малой гладкой деформацией ${\displaystyle N}$ можно добиться того, чтобы многообразия пересекались трансверсально в любой точке их пересечения.
  • В частности, если суммарная размерность ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle N}$ строго меньше чем размерность объемлющего пространства, то после произвольно малой деформации можно добиться того, что подмногообразия не имеют точек пересечения.

Литература

• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — М.: Наука, 1979.