Транспозиционная матрица

Транспозиционная матрица Tr(X) - это квадратная матрица размера n, равного целой степени 2, каждый элемент Tr(X)ij которой содержит один из элементов {x} заданного вектора X размера n, индекс которого равен единице плюс побитовое сложение по модулю 2 (XOR) номера строки i минус единица и номер столбца j минус единица элемента Tr(X)ij.

Формула

Таким образом, формула, по которой вычисляются элементы матрицы Tr(X), выглядит следующим образом:

${\displaystyle Tr(X)_{i,j}=x_{1+(i-1)\oplus (j-1)}}$

где ${\displaystyle i,j\in [1,n]}$ и символом ${\displaystyle \oplus }$ обозначена битовая операция «сложение по модулю 2.

Например, транспозиционная матрица ${\displaystyle Tr(X)}$, полученная из вектора:

${\displaystyle X={\begin{pmatrix}x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5},x_{6},x_{7},x_{8}\\\end{pmatrix}}}$

имеет вид:

${\displaystyle Tr(X)={\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}&x_{4}&|&x_{5}&x_{6}&x_{7}&x_{8}\\x_{2}&x_{1}&x_{4}&x_{3}&|&x_{6}&x_{5}&x_{8}&x_{7}\\x_{3}&x_{4}&x_{1}&x_{2}&|&x_{7}&x_{8}&x_{5}&x_{6}\\x_{4}&x_{3}&x_{2}&x_{1}&|&x_{8}&x_{7}&x_{6}&x_{5}\\-&-&-&-&|&-&-&-&-\\x_{5}&x_{6}&x_{7}&x_{8}&|&x_{1}&x_{2}&x_{3}&x_{4}\\x_{6}&x_{5}&x_{8}&x_{7}&|&x_{2}&x_{1}&x_{4}&x_{3}\\x_{7}&x_{8}&x_{5}&x_{6}&|&x_{3}&x_{4}&x_{1}&x_{2}\\x_{8}&x_{7}&x_{6}&x_{5}&|&x_{4}&x_{3}&x_{2}&x_{1}\\\end{pmatrix}}}$.

Свойство четвёрок

Четвёрки из элементов в ${\displaystyle Tr}$-матрице — диагональные элементы в них равны

Произвольная пара строк строки (или пара столбцов) транспозиционной матрицы содержит ${\displaystyle n/2}$ четвёрок из элементов с равными значениями диагональных элементов. Например, если ${\displaystyle Tr_{p,q}}$ и ${\displaystyle Tr_{u,q}}$ — два случайно выбранных элемента из одного столбца ${\displaystyle q}$ матрицы ${\displaystyle Tr}$, то из этого свойства следует, что ${\displaystyle Tr}$-матрица содержит четвёрку из элементов ${\displaystyle (Tr_{p,q},Tr_{u,q},Tr_{p,v},Tr_{u,v})}$, для которой выполняются уравнения ${\displaystyle Tr_{p,q}=Tr_{u,v}}$ и ${\displaystyle Tr_{u,q}=Tr_{p,v}}$. Это свойство «свойство четвёрок» является специфическим для ${\displaystyle Tr}$-матриц.

Другие свойства

• Матрица Tr(X) является симметричной матрицей
• Матрица Tr(X) является персимметричной матрицей, то есть она также симметрична относительно своей второй диагонали

Транспозиционная матрица со взаимно ортогональными строками

Свойство четвёрок позволяет получить из транспозиционной матрицы ${\displaystyle Tr}$ матрицу со взаимно ортогональными строками ${\displaystyle Trs}$ путём изменения знака нечётному количеству элементов в каждой из четвёрок ${\displaystyle (Tr_{p,q},Tr_{u,q},Tr_{p,v},Tr_{u,v})}$, ${\displaystyle p,q,u,v\in [1,n]}$. Существует алгоритм построения ${\displaystyle Trs}$-матрицы с использованием покомпонентного произведения матрицы ${\displaystyle Tr}$ и ${\displaystyle n}$-мерной матрицы Адамара ${\displaystyle H=(h_{ij})}$, строки которой (кроме первой) переставлены таким образом, что строки результирующей матрицы ${\displaystyle Trs}$ взаимно ортогональны:

${\displaystyle Trs(X)=Tr(X)\circ H(R)}$

${\displaystyle Trs.{Trs}^{T}=\parallel X\parallel ^{2}.I_{n}}$

где:

«${\displaystyle \circ }$» — произведение Адамара,

${\displaystyle I_{n}}$ — единичная матрица,

${\displaystyle H(R)}$ — ${\displaystyle n}$-мерная матрица Адамара с перестановкой строк ${\displaystyle R=[1,r_{2},...r_{n}]^{T},r_{2},...r_{n}\in [2,n]}$, которая меняет знак нечётному количеству элементов в каждой из четвёрок;

${\displaystyle X}$ — вектор, из которого выводятся элементы ${\displaystyle Tr}$-матрицы.

Порядок ${\displaystyle R}$ строк матрицы Адамара был получен экспериментально для матриц ${\displaystyle Trs}$ размеров 2, 4 и 8. Порядок ${\displaystyle R}$ строк матрицы Адамара (относительно матрицы Сильвестра — Адамара) не зависит от вектора ${\displaystyle X}$. Было доказано^[1], что если ${\displaystyle X}$ — единичный вектор (${\displaystyle \parallel X\parallel =1}$), то ${\displaystyle det(Trs)=-1}$.

Пример получения матрицы Trs

Транспозиционная матрица с взаимно ортогональными строками ${\displaystyle Trs(X)}$ при ${\displaystyle n=4}$, получается из вектора ${\displaystyle X={\begin{pmatrix}x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\\\end{pmatrix}}}$ по формуле:

${\displaystyle Trs(X)=H(R)\circ Tr(X)={\begin{pmatrix}1&1&1&1\\1&-1&1&-1\\1&-1&-1&1\\1&1&-1&-1\\\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}&x_{4}\\x_{2}&x_{1}&x_{4}&x_{3}\\x_{3}&x_{4}&x_{1}&x_{2}\\x_{4}&x_{3}&x_{2}&x_{1}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}&x_{4}\\x_{2}&-x_{1}&x_{4}&-x_{3}\\x_{3}&-x_{4}&-x_{1}&x_{2}\\x_{4}&x_{3}&-x_{2}&-x_{1}\\\end{pmatrix}}}$,

где ${\displaystyle Tr(X)}$ — ${\displaystyle Tr}$ матрица, полученная из вектора ${\displaystyle X}$, H(R) — матрица Адамара со сдвигом строк в заданном порядке R, для которого строки результирующей Матрицы Trs взаимно ортогональны. Первая строка результирующей матрицы ${\displaystyle Trs(X)}$ содержит элементы вектора ${\displaystyle X}$ без перестановок и перемен знака. Учитывая, что строки матрицы ${\displaystyle Trs}$ взаимно ортогональны:

${\displaystyle Trs(X).X=\parallel X\parallel ^{2}.[1,0,0,0]^{T}}$,

следовательно, матрица ${\displaystyle Trs}$ вращает вектор ${\displaystyle X}$, из которого она получена, в направлении оси ${\displaystyle x_{1}}$. Порядок ${\displaystyle R}$ строк матрицы Адамара не зависит от вектора ${\displaystyle X}$. Опубликованы примеры генерации матриц ${\displaystyle Tr}$ и ${\displaystyle Trs}$ для ${\displaystyle n=2,4,8}$. Остаётся открытым вопрос, можно ли создать матрицы Trs размера больше 8.