Лучшие вопросы
Таймлайн
Чат
Перспективы

Симметричная матрица

квадратная матрица, элементы которой симметричны относительно главной диагонали Из Википедии, свободной энциклопедии

Remove ads

Симметричной (Симметрической) называют квадратную матрицу, элементы которой симметричны относительно главной диагонали. Более формально, симметричной называют такую матрицу , что .

Это означает, что она равна её транспонированной матрице:

Remove ads

Примеры

Remove ads

Свойства

Суммиров вкратце
Перспектива

Симметричная матрица всегда квадратная.

Для любой симметричной матрицы A с вещественными элементами справедливо следующее:

  • из её собственных векторов всегда можно составить ортонормированный базис
  • матрицу A можно привести к диагональному виду: , где ортогональная матрица, столбцы которой содержат ортонормированный базис из собственных векторов, а Dдиагональная матрица с собственными значениями матрицы A на диагонали.
  • Если у симметричной матрицы A единственное собственное значение , то она имеет диагональный вид: , где единичная матрица, в любом базисе.
  • Для симметричной матрицы любая конгруэнтная матрица также является симметричной, то есть
Remove ads

Положительно (отрицательно) определённые матрицы

Симметричная матрица размерностью называется положительно определённой если выполняется
Условие отрицательно, неположительно и неотрицательно определённой матрицы формулируется аналогично с соответствующим изменением знака неравенства.
Для выяснения характера определённости матрицы может использоваться критерий Сильвестра.

См. также

Литература

  1. Беллман Р. Введение в теорию матриц. — М.: Мир, 1969 (djvu).
  2. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е изд. — М.: Физматлит, 2004. — 560 с. — ISBN 5-9221-0524-8.; (2-е изд.). — М.: Наука, 1966 (djvu).
  3. Голуб Дж. (Gene H. Golub), Ван Лоун Ч. (Charles F. Van Loan) Матричные вычисления. — М.: Мир, 1999. — 548 с. — ISBN 5-03-002406-9
  4. Курош А. Г. Курс высшей алгебры. — 9-е изд. — М.: Наука, 1968. — 432 с.
Remove ads
Loading related searches...

Wikiwand - on

Seamless Wikipedia browsing. On steroids.

Remove ads