Симметричная матрица

Симметричной (Симметрической) называют квадратную матрицу, элементы которой симметричны относительно главной диагонали. Более формально, симметричной называют такую матрицу ${\displaystyle A}$, что ${\displaystyle \forall i,j:a_{ij}=a_{ji}}$.

Это означает, что она равна её транспонированной матрице:

${\displaystyle A=A^{T}}$

Примеры

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b&c\\b&d&e\\c&e&f\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1&3&0\\3&2&6\\0&6&5\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1&5\\5&7\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\end{pmatrix}}}$

Свойства

Симметричная матрица всегда квадратная.

Для любой симметричной матрицы A с вещественными элементами справедливо следующее:

• она имеет вещественные собственные значения
• её собственные векторы, соответствующие разным собственным значениям, ортогональны друг другу:

${\displaystyle Av=\lambda _{1}v,\ Aw=\lambda _{2}w,\ \lambda _{1}\neq \lambda _{2}\implies v^{T}w=0}$

• из её собственных векторов всегда можно составить ортонормированный базис
• матрицу A можно привести к диагональному виду: ${\displaystyle A=QDQ^{T}}$, где ${\displaystyle Q}$ — ортогональная матрица, столбцы которой содержат ортонормированный базис из собственных векторов, а D — диагональная матрица с собственными значениями матрицы A на диагонали.
• Если у симметричной матрицы A единственное собственное значение ${\displaystyle \lambda }$, то она имеет диагональный вид: ${\displaystyle A=\lambda E}$, где ${\displaystyle E}$ — единичная матрица, в любом базисе.
• Для симметричной матрицы любая конгруэнтная матрица также является симметричной, то есть

${\textstyle A=A^{\mathrm {T} }\quad \Longrightarrow \quad X^{\mathrm {T} }AX=(X^{\mathrm {T} }AX)^{\mathrm {T} }.}$

Положительно (отрицательно) определённые матрицы

Симметричная матрица ${\displaystyle A}$ размерностью ${\displaystyle k\times k}$ называется положительно определённой если ${\displaystyle \forall z\in \mathbb {R} ^{k}\setminus \{\mathbf {0} \}}$ выполняется ${\displaystyle z^{T}Az>0.}$
Условие отрицательно, неположительно и неотрицательно определённой матрицы формулируется аналогично с соответствующим изменением знака неравенства.
Для выяснения характера определённости матрицы может использоваться критерий Сильвестра.

См. также

• Персимметричная матрица
• Транспозиционная матрица
• Матрица Лемера

Литература

1. Беллман Р. Введение в теорию матриц. — М.: Мир, 1969 (djvu).
2. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е изд. — М.: Физматлит, 2004. — 560 с. — ISBN 5-9221-0524-8.; (2-е изд.). — М.: Наука, 1966 (djvu).
3. Голуб Дж. (Gene H. Golub), Ван Лоун Ч. (Charles F. Van Loan) Матричные вычисления. — М.: Мир, 1999. — 548 с. — ISBN 5-03-002406-9
4. Курош А. Г. Курс высшей алгебры. — 9-е изд. — М.: Наука, 1968. — 432 с.