Трилинейная интерполяция

Трилинейная интерполяция — метод многомерной интерполяции в трёхмерном евклидовом пространстве. Линейно аппроксимирует значение функции ${\displaystyle f}$ в точке ${\displaystyle (x,y,z)}$, используя известные значения в окружающих точках.

Трилинейная интерполяция часто используется в численном анализе и машинной графике^{[источник не указан 4649 дней]}.

Сравнение с линейной и билинейной интерполяцией

Трилинейная интерполяция является расширением линейной интерполяции, действующей в пространстве с размерностью ${\displaystyle D=1}$, и билинейной интерполяции, действующей в пространстве с размерностью ${\displaystyle D=2}$, на пространство размерности ${\displaystyle D=3}$. Для того чтобы интерполировать значения функции в точке ${\displaystyle (x,y,z)}$, необходимо знать значения ${\displaystyle f}$ в 8 смежных точках, окружающих ${\displaystyle (x,y,z)}$.

Интерполяция действительной функции

Допустим, требуется интерполировать значение функции ${\displaystyle f}$ в точке ${\displaystyle (x,y,z)}$. Пусть даны значения функции ${\displaystyle f}$ в окружающих точках ${\displaystyle (x_{i},y_{j},z_{k})}$, где ${\displaystyle i=1,2}$, ${\displaystyle j=1,2}$, ${\displaystyle k=1,2}$, причем ${\displaystyle x_{1}<x<x_{2}}$, ${\displaystyle y_{1}<y<y_{2}}$, ${\displaystyle z_{1}<z<z_{2}}$. Последовательно проводя линейную интерполяцию для каждого измерения, можно получить следующую формулу:

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x,y,z)&\approx {\frac {f(x_{1},y_{1},z_{1})}{(x_{2}-x_{1})(y_{2}-y_{1})(z_{2}-z_{1})}}(x_{2}-x)(y_{2}-y)(z_{2}-z)+\\&+{\frac {f(x_{1},y_{1},z_{2})}{(x_{2}-x_{1})(y_{2}-y_{1})(z_{2}-z_{1})}}(x_{2}-x)(y_{2}-y)(z-z_{1})+\\&+{\frac {f(x_{1},y_{2},z_{1})}{(x_{2}-x_{1})(y_{2}-y_{1})(z_{2}-z_{1})}}(x_{2}-x)(y-y_{1})(z_{2}-z)+\\&+{\frac {f(x_{1},y_{2},z_{2})}{(x_{2}-x_{1})(y_{2}-y_{1})(z_{2}-z_{1})}}(x_{2}-x)(y-y_{1})(z-z_{1})+\\&+{\frac {f(x_{2},y_{1},z_{1})}{(x_{2}-x_{1})(y_{2}-y_{1})(z_{2}-z_{1})}}(x-x_{1})(y_{2}-y)(z_{2}-z)+\\&+{\frac {f(x_{2},y_{1},z_{2})}{(x_{2}-x_{1})(y_{2}-y_{1})(z_{2}-z_{1})}}(x-x_{1})(y_{2}-y)(z-z_{1})+\\&+{\frac {f(x_{2},y_{2},z_{1})}{(x_{2}-x_{1})(y_{2}-y_{1})(z_{2}-z_{1})}}(x-x_{1})(y-y_{1})(z_{2}-z)+\\&+{\frac {f(x_{2},y_{2},z_{2})}{(x_{2}-x_{1})(y_{2}-y_{1})(z_{2}-z_{1})}}(x-x_{1})(y-y_{1})(z-z_{1}).\end{aligned}}}$

В частности, в единичном кубе (${\displaystyle x_{1}=y_{1}=z_{1}=0,\quad x_{2}=y_{2}=z_{2}=1}$):

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x,y,z)&\approx f(0,0,0)\cdot (1-x)(1-y)(1-z)+\\&+f(0,0,1)\cdot (1-x)(1-y)z+\\&+f(0,1,0)\cdot (1-x)y(1-z)+\\&+f(0,1,1)\cdot (1-x)yz+\\&+f(1,0,0)\cdot x(1-y)(1-z)+\\&+f(1,0,1)\cdot x(1-y)z+\\&+f(1,1,0)\cdot xy(1-z)+\\&+f(1,1,1)\cdot xyz.\end{aligned}}}$