Трёхмерная сфера

Трёхмерная сфе́ра (трёхмерная гиперсфе́ра, иногда 3-сфе́ра) — сфера в четырёхмерном пространстве. Состоит из множества точек, равноудалённых от фиксированной центральной точки в четырёхмерном евклидовом пространстве. Так же, как двумерная сфера, которая образует границу шара в трёх измерениях, 3-сфера имеет три измерения и является границей четырёхмерного шара. Возможно, вселенная имеет форму трехмерной сферы.

Стереографическая проекция параллелей гиперсферы (красная), меридианов (синий) и гипермеридианов (зелёный). В связи с конформными свойствами стереографической проекции кривые пересекаются друг с другом ортогонально (в жёлтых точках), как в 4D. Все кривые являются окружностями: кривые, которые пересекаются в <0,0,0,1>, имеют бесконечный радиус (то есть являются прямыми).

Вращение четырехмерного шара

Уравнение

В декартовых координатах ${\displaystyle (x_{0},x_{1},x_{2},x_{3})}$ трёхмерная сфера радиуса ${\displaystyle r}$ может быть задана уравнением

${\displaystyle (x_{0}-C_{0})^{2}+(x_{1}-C_{1})^{2}+(x_{2}-C_{2})^{2}+(x_{3}-C_{3})^{2}=r^{2}.}$

Рассматривая комплексное пространство ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ как вещественное ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$, уравнение сферы может быть рассмотрено как

${\displaystyle S^{3}=\left\{(z_{1},z_{2})\in \mathbb {C} ^{2}:|z_{1}|^{2}+|z_{2}|^{2}=1\right\}.}$

Аналогично, в пространстве кватернионов ${\displaystyle \mathbb {H} ^{1}}$:

${\displaystyle S^{3}=\left\{q\in \mathbb {H}$ :\|q\|=1\right\}.}

Являясь трёхмерным многообразием, трёхмерная сфера может быть задана параметрически с использованием трёх координат. Примером являются гиперсферические координаты:

${\displaystyle x_{0}=r\cos \psi ,}$

${\displaystyle x_{1}=r\sin \psi \cos \theta ,}$

${\displaystyle x_{2}=r\sin \psi \sin \theta \cos \phi ,}$

${\displaystyle x_{3}=r\sin \psi \sin \theta \sin \phi .}$

Свойства

Трёхмерная сфера ${\displaystyle S^{3}}$ является границей четырёхмерного шара.

Трёхмерная сфера является компактным связным трёхмерным многообразием. Трёхмерная сфера односвязна, то есть любая замкнутая кривая на ней может быть непрерывно стянута в точку.

Трёхмерная сфера гомеоморфна одноточечной компактификации трёхмерного вещественного пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$.

Групповая структура

Являясь множеством единичных кватернионов, трёхмерная сфера наследует групповую структуру.

Таким образом, сфера ${\displaystyle S^{3}}$ является группой Ли. Среди ${\displaystyle n}$-мерных сфер таким свойством обладают только ${\displaystyle S^{1}}$ и ${\displaystyle S^{3}}$.

Используя матричное представление кватернионов, можно определить представление группы ${\displaystyle S^{3}}$ с помощью матриц Паули:

${\displaystyle x_{1}+x_{2}i+x_{3}j+x_{4}k\mapsto {\begin{pmatrix}\;\;\,x_{1}+ix_{2}&x_{3}+ix_{4}\\-x_{3}+ix_{4}&x_{1}-ix_{2}\end{pmatrix}}.}$

Поэтому группа ${\displaystyle S^{3}}$ изоморфна матричной группе Ли ${\displaystyle \mathrm {SU} (2)}$.

Действие группы U(1) и расслоение Хопфа

Основная статья: Расслоение Хопфа

Если определить действие группы ${\displaystyle U(1)}$:

${\displaystyle (z_{1},z_{2})\cdot \lambda =(z_{1}\lambda ,z_{2}\lambda )\quad \forall \lambda \in \mathbb {U} (1),}$

то пространство орбит гомеоморфно двумерной сфере ${\displaystyle S^{2}}$. При этом на сфере ${\displaystyle S^{3}}$ возникает структура расслоения с базой ${\displaystyle S^{2}}$ и слоями, гомеоморфными ${\displaystyle U(1)}$, то есть окружности ${\displaystyle S^{1}}$. Это расслоение называется расслоением Хопфа.^[1]

Расслоение Хопфа является примером нетривиального главного расслоения. В координатах оно задаётся формулой

${\displaystyle p:(z_{1},z_{2})\mapsto (z_{1}:z_{2}).}$

Точка (z₁, z₂) сферы ${\displaystyle S^{3}}$ отображается в точку [z₁: z₂] комплексной проективной прямой CP¹, которая диффеоморфна двумерной сфере ${\displaystyle S^{2}}$.

Гомотопические группы сферы

Односвязность сферы означает, что первая гомотопическая группа ${\displaystyle \pi _{1}(S^{3})=\{0\}}$. Также нулевой является группа ${\displaystyle \pi _{2}(S^{3})=\{0\}}$.