Универсальное накрытие

Универсальное накрытие — в некотором смысле самое большое накрытие пространства. В непатологических случаях, универсальное накрытие есть накрытие односвязным пространством.

Определение

Накрытие ${\displaystyle p\colon {\tilde {Y}}\to Y}$ называется универсальным если для любого другого накрытия ${\displaystyle q\colon X\to Y}$ существует накрытие ${\displaystyle s\colon {\tilde {Y}}\to X}$ такое, что ${\displaystyle p=q\circ s}$.

Примеры

Гавайская серьга

Пространство неодносвязного универсального накрытия

• Примером пространства, не допускающего универсальное накрытие, является так называемая гавайская серьга: объединение последовательности окружностей, попарно касающихся в одной точке, радиусы которых стремятся к нулю.^[1]

• Две копии конуса над гавайской серьгой, склеенные по одной точке, в которой окружности гавайской серьги имеют общую точку, дают пример неодносвязного пространства с тривиальным (и значит неодносвязным) универсальным накрытием. Замкнутый путь, обегающий уменьшающиеся окружности и бегающий из конуса в конус, негомотопен нулю. ^[2]

• Вещественная прямая ${\displaystyle \mathbb {R} }$ является универсальным накрытием окружности ${\displaystyle S^{1}}$.

• ${\displaystyle n}$-мерная сфера ${\displaystyle S^{n}}$ является универсальным накрытием вещественного проективного пространства ${\displaystyle \mathbb {R} \mathrm {P} ^{n}}$ при ${\displaystyle n>1}$.

Свойства

• Универсальное накрытие регулярно.

• Все локально линейно связные и полулокально односвязные связные пространства допускают универсальное накрытие. Более того, пространство накрытия является односвязным.
  • В частности, у любого локально односвязного связного пространства существует универсальное накрытие.