Унитарная матрица

Унита́рная ма́трица — квадратная матрица с комплексными элементами, результат умножения которой на эрмитово сопряжённую равен единичной матрице: ${\displaystyle U^{\dagger }U=UU^{\dagger }=I}$. Другими словами, матрица унитарна тогда и только тогда, когда существует обратная к ней матрица, удовлетворяющая условию ${\displaystyle U^{-1}=U^{\dagger }}$.

Унитарные матрицы обобщают понятие ортогональных матриц, элементы которых — только действительные числа, на матрицы с компле́ксными числами.

Следующие утверждения относительно данной квадратной матрицы ${\displaystyle A}$ являются эквивалентными:

1. ${\displaystyle A}$ — унитарна.
2. ${\displaystyle A^{\dagger }}$ — унитарна.
3. Столбцы матрицы ${\displaystyle A}$ образуют ортонормированный базис в унитарном пространстве.
4. Строки матрицы ${\displaystyle A}$ образуют ортонормированный базис в унитарном пространстве.

Интерпретация

Унитарная матрица представляет преобразование, переводящее ортонормированный базис комплексного векторного пространства размерности, соответствующей её размеру, в ортонормированный базис. (Это верно для любого ортонормированного базиса).

Это эквивалентно утверждению, что преобразование, представляемое унитарной матрицей, сохраняет скалярное произведение (а потому и длины всех векторов).

Свойства

• Всякая унитарная матрица является нормальной.
• Произведение унитарных матриц также является унитарной матрицей.
• Для всякой унитарной матрицы ${\displaystyle U}$ существует такая унитарная матрица ${\displaystyle V}$, что ${\displaystyle V^{*}UV}$ — диагональна.
• Множество всех унитарных матриц порядка ${\displaystyle n}$ по умножению образует унитарную группу ${\displaystyle U(n)}$ — (алгебраическую) группу Ли над полем вещественных чисел.

Если определитель унитарной матрицы ${\displaystyle A}$ равен единице, её называют специальной унитарной матрицей. Модуль определителя унитарной матрицы всегда равен 1.

Множество всех специальных унитарных матриц порядка ${\displaystyle n}$ по умножению образуют специальную унитарную группу ${\displaystyle SU(n)}$. Группы ${\displaystyle SU(2)}$ и ${\displaystyle SU(3)}$ играют важную роль при изложении квантовой механики и физики элементарных частиц.

См. также

• Эрмитова матрица
• Унитарный оператор
• Унитарная группа
• Специальная унитарная группа
• Группа Ли
• Ортонормированный базис
• Гильбертово пространство
• Группа вращений

Литература

• Унитарная матрица // Ужи — Фидель. — М. : Советская энциклопедия, 1956. — С. 242. — (Большая советская энциклопедия : [в 51 т.] / гл. ред. Б. А. Введенский ; 1949—1958, т. 44).