Лучшие вопросы
Таймлайн
Чат
Перспективы
Ортогональная матрица
квадратная матрица, у которой транспонированная и обратная матрицы совпадают Из Википедии, свободной энциклопедии
Remove ads
Ортогона́льная ма́трица — квадратная матрица с вещественными элементами, результат умножения которой на транспонированную матрицу равен единичной матрице[1]:
или, что эквивалентно, её обратная матрица (которая обязательно существует) равна транспонированной матрице:
Комплексным аналогом ортогональной матрицы является унитарная матрица.
Ортогональная матрица с определителем называется специальной ортогональной.
Remove ads
Свойства
Суммиров вкратце
Перспектива
- Ортогональная матрица является унитарной () и, следовательно, нормальной ().
- Столбцы и строки ортогональной матрицы образуют системы ортонормированных векторов, то есть:
- и
- где , — порядок матрицы, а — символ Кронекера.
Другими словами, скалярное произведение строки на саму себя равно 1, а на любую другую строку — 0. Это же справедливо и для столбцов.
- Определитель ортогональной матрицы равен , что следует из свойств определителей:
- Обратное неверно; матрица с определителем может быть неортогональной. Так, матрица неортогональна, хотя её определитель равен 1.
- Множество ортогональных матриц порядка над полем образует группу по умножению, так называемую ортогональную группу, которая обозначается или (если опускается, то предполагается ).
- Линейный оператор, заданный ортогональной матрицей, переводит ортонормированный базис линейного пространства в ортонормированный.
- Матрица вращения является специальной ортогональной. Матрица отражения является ортогональной.
- Любая ортогональная матрица подобна блочно-диагональной матрице с блоками вида
- и
Remove ads
Примеры
- — матрица, отражающая плоскость относительно оси Х.
- — матрица поворота плоскости на угол θ.
- — пример матрицы поворота.
- — пример перестановочной матрицы.
- — матрица поворота, выраженная через углы Эйлера.
Remove ads
См. также
Примечания
Wikiwand - on
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Remove ads