Уравнение пятой степени

Уравнением пятой степени называют уравнение вида: ${\displaystyle ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+f=0}$

График полинома 5-й степени с четырьмя критическими точками.

Теорема Виета для уравнения пятой степени

Корни уравнения пятой степени ${\displaystyle x_{1},\,x_{2},\,x_{3},\,x_{4},\,x_{5}}$ связаны с коэффициентами ${\displaystyle a,\,b,\,c,\,d,\,e,\,f}$ следующим образом:

${\displaystyle x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}=-{\frac {b}{a}},}$

${\displaystyle x_{1}\,x_{2}+x_{1}\,x_{3}+x_{1}\,x_{4}+x_{1}\,x_{5}+x_{2}\,x_{3}+x_{2}\,x_{4}+x_{2}\,x_{5}+x_{3}\,x_{4}+x_{3}\,x_{5}+x_{4}\,x_{5}={\frac {c}{a}},}$

${\displaystyle x_{1}\,x_{2}\,x_{3}+x_{1}\,x_{2}\,x_{4}+x_{1}\,x_{2}\,x_{5}+x_{1}\,x_{3}\,x_{4}+x_{1}\,x_{3}\,x_{5}+x_{1}\,x_{4}\,x_{5}+x_{2}\,x_{3}\,x_{4}+x_{2}\,x_{3}\,x_{5}+x_{2}\,x_{4}\,x_{5}+x_{3}\,x_{4}\,x_{5}=-{\frac {d}{a}},}$

${\displaystyle x_{1}\,x_{2}\,x_{3}\,x_{4}+x_{1}\,x_{2}\,x_{3}\,x_{5}+x_{1}\,x_{2}\,x_{4}\,x_{5}+x_{1}\,x_{3}\,x_{4}\,x_{5}+x_{2}\,x_{3}\,x_{4}\,x_{5}={\frac {e}{a}},}$

${\displaystyle x_{1}\,x_{2}\,x_{3}\,x_{4}\,x_{5}=-{\frac {f}{a}}.}$

Решение

Точной формулы решения уравнения пятой степени в радикалах не существует. Если ${\displaystyle a=1,f=0}$, то уравнение имеет вид:

${\displaystyle x^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex=0}$, где ${\displaystyle x}$ выносим за скобки (см. Сводное уравнение)

${\displaystyle x(x^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e)=0}$, где один из корней равен нулю.

В скобках уравнение четвертой степени.

Если ${\displaystyle b=d=0}$, уравнение биквадратное. Один из корней равен нулю, остальные корни ищут по формуле

${\textstyle \pm {\sqrt {-c\pm {\frac {\sqrt {c^{2}-4e}}{2}}}}}$.

Если ${\displaystyle b=e=0}$, уравнение в скобках имеет вид

${\displaystyle x^{4}+cx^{2}+dx=0}$, где выносим за скобки:

${\displaystyle x(x^{3}+cx+d)=0}$, где один из корней ноль, остальные три корня ищем по формуле Кардано.

Также, решение общего уравнения пятой степени может быть сведено с помощью замен и преобразования Бринга-Жерара к уравнению вида ${\displaystyle x^{5}+x+a=0}$^[1]

Решение уравнения вида ${\displaystyle x^{5}+x+a=0}$ может быть представлено в виде ряда:^[1]

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(5n)!}{(4n+1)!n!}}a^{4n+1}}$

Пример

Решите уравнение

${\displaystyle x^{5}+5x=0}$.

Решение. Выносим ${\displaystyle x}$ за скобки:

${\displaystyle x(x^{4}+5)=0}$.

Раскладываем ${\displaystyle x^{4}+5}$ на множители:

${\displaystyle x(x-{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}-{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}i)(x+{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}-{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}i)(x+{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}+{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}i)(x-{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}+{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}i)=0}$.

Уравнение имеет пять корней:

${\displaystyle x_{1}=0}$, ${\displaystyle x_{2}={\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}+{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}i}$, ${\displaystyle x_{3}=-{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}+{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}i}$, ${\displaystyle x_{4}=-{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}-{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}i}$, ${\displaystyle x_{5}={\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}-{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}i}$.