Уравнение четвёртой степени

Уравне́ние четвёртой сте́пени — в математике алгебраическое уравнение вида:

${\displaystyle f(x)=ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0,\quad a\neq 0.}$

График многочлена 4-й степени с четырьмя корнями и тремя критическими точками

Четвёртая степень для алгебраических уравнений является наивысшей, при которой существует аналитическое решение в радикалах в общем виде (то есть при любых значениях коэффициентов).

Так как функция ${\displaystyle f(x)}$ является многочленом чётной степени, она имеет один и тот же предел при стремлении к плюс и к минус бесконечности. Если ${\displaystyle a>0}$, то функция возрастает до плюс бесконечности с обеих сторон, а значит, имеет глобальный минимум. Аналогично, если ${\displaystyle a<0}$, то функция убывает до минус бесконечности с обеих сторон, а значит, имеет глобальный максимум.

Корни уравнения

Над полем комплексных чисел, согласно основной теореме алгебры, уравнение четвертой степени

${\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e}$

всегда имеет 4 корня ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}}$ (с учётом кратности).

Свойства корней различаются с помощью знака дискриминанта:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta &=256a^{3}e^{3}-192a^{2}bde^{2}-128a^{2}c^{2}e^{2}+144a^{2}cd^{2}e-27a^{2}d^{4}\ +\\&+144ab^{2}ce^{2}-6ab^{2}d^{2}e-80abc^{2}de+18abcd^{3}+16ac^{4}e\ -\\&-4ac^{3}d^{2}-27b^{4}e^{2}+18b^{3}cde-4b^{3}d^{3}-4b^{2}c^{3}e+b^{2}c^{2}d^{2}.\end{aligned}}}$

Возможны три случая:

• Если ${\displaystyle \Delta >0,}$ тогда уравнение имеет 4 различных вещественных корня.
• Если ${\displaystyle \Delta <0,}$ то уравнение имеет 4 различных корня, где как минимум 1 из них комплексный.
• Если ${\displaystyle \Delta =0,}$ тогда хотя бы два корня совпадают. Это может быть: один корень кратности 2; один корень кратности 3; один корень кратности 4; два корня кратности 2.

Корни уравнения по теореме Виета для четвёртой степени ${\displaystyle x_{1},\,x_{2},\,x_{3},\,x_{4}}$ связаны с коэффициентами ${\displaystyle a,\,b,\,c,\,d,\,e}$ следующим образом:

${\displaystyle x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=-{\frac {b}{a}},}$

${\displaystyle x_{1}\,x_{2}+x_{1}\,x_{3}+x_{1}\,x_{4}+x_{2}\,x_{3}+x_{2}\,x_{4}+x_{3}\,x_{4}={\frac {c}{a}},}$

${\displaystyle x_{1}\,x_{2}\,x_{3}+x_{1}\,x_{2}\,x_{4}+x_{1}\,x_{3}\,x_{4}+x_{2}\,x_{3}\,x_{4}=-{\frac {d}{a}},}$

${\displaystyle x_{1}\,x_{2}\,x_{3}\,x_{4}={\frac {e}{a}}.}$

История

Уравнения четвёртой степени впервые были рассмотрены древнеиндийскими математиками между IV в. до н. э. и II в. н. э.

Лодовико Феррари приписывается получение решения уравнения четвёртой степени в 1540 году, но его работа опиралась на решение кубического уравнения, которого у него не было, поэтому сразу это решение не было опубликовано,^[1] а было опубликовано только в 1545 вместе с решением кубического уравнения наставника Феррари — Джероламо Кардано в книге «Великое искусство»^[2].

То, что это наибольшая степень уравнения, для которого можно указать общую формулу решения, было доказано в теореме Абеля-Руффини в 1824. Записки, оставленные Галуа, позже привели к элегантной теории корней многочленов, одним из результатов которой была эта теорема^[3].

Решения

Решение через резольвенту

Решение уравнения четвёртой степени

${\displaystyle x^{4}+px^{2}+qx+r=0}$

сводится к решению кубической резольвенты

${\displaystyle y^{3}-2py^{2}+(p^{2}-4r)y+q^{2}=0.}$

Корни резольвенты ${\displaystyle y_{1},y_{2},y_{3}}$ связаны с корнями исходного уравнения ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}}$ (которые и нужно найти) следующими соотношениями:

${\displaystyle y_{1}=(x_{1}+x_{2})(x_{3}+x_{4}),}$

${\displaystyle y_{2}=(x_{1}+x_{3})(x_{2}+x_{4}),}$

${\displaystyle y_{3}=(x_{1}+x_{4})(x_{2}+x_{3}).}$

Корни резольвенты могут быть найдены по формуле Кардано.

Три формулы соотношений между ${\displaystyle y_{i}}$ и ${\displaystyle x_{i}}$ вместе с уравнением (соотношение Виета для коэффициента при ${\displaystyle x^{3}}$)

${\displaystyle x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0}$

дают систему из 4 алгебраических уравнений с 4 неизвестными, которая легко решается.

Решение Декарта-Эйлера

В уравнении четвёртой степени

${\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0,\quad a\neq 0}$

сделаем подстановку ${\displaystyle x=y-{\frac {b}{4a}}}$, получим уравнение в следующем виде (оно называется «неполным»):

${\displaystyle y^{4}+py^{2}+qy+r=0,}$

где ${\displaystyle p={\frac {8ac-3b^{2}}{8a^{2}}},}$

${\displaystyle q={\frac {8a^{2}d-4abc+b^{3}}{8a^{3}}},}$

${\displaystyle r={\frac {256a^{3}e-64a^{2}bd+16ab^{2}c-3b^{4}}{256a^{4}}}.}$

Корни ${\displaystyle y_{1},\,y_{2},\,y_{3},\,y_{4}}$ такого уравнения равны одному из следующих выражений:

${\displaystyle \pm {\sqrt {z_{1}}}}$ ${\displaystyle \pm {\sqrt {z_{2}}}}$ ${\displaystyle \pm {\sqrt {z_{3}}},}$

в которых сочетания знаков выбираются таким образом, чтобы выполнялось следующее соотношение:

${\displaystyle (\pm {\sqrt {z_{1}}})(\pm {\sqrt {z_{2}}})(\pm {\sqrt {z_{3}}})=-{\frac {q}{8}},}$

причём ${\displaystyle z_{1},\,z_{2},\,z_{3}}$ — это корни кубического уравнения

${\displaystyle z^{3}+{\frac {p}{2}}z^{2}+{\frac {p^{2}-4r}{16}}z-{\frac {q^{2}}{64}}=0.}$

Решение Феррари

Основная статья: Метод Феррари

Решение уравнения четвёртой степени вида ${\displaystyle x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}$ может быть найдено по методу Феррари. Если ${\displaystyle y_{1}}$ — произвольный корень кубического уравнения

${\displaystyle y^{3}-by^{2}+(ac-4d)y-a^{2}d+4bd-c^{2}=0,}$

(резольвенты основного уравнения), то четыре корня исходного уравнения находятся как корни двух квадратных уравнений

${\displaystyle x^{2}+{\frac {a}{2}}x+{\frac {y_{1}}{2}}=\pm {\sqrt {\left({\frac {a^{2}}{4}}-b+y_{1}\right)x^{2}+\left({\frac {a}{2}}y_{1}-c\right)x+{\frac {y_{1}^{2}}{4}}-d}}}$

где подкоренное выражение в правой части является полным квадратом.

Биквадратное уравнение

Биквадратное уравнение^[4] — алгебраическое уравнение четвёртой степени вида ${\displaystyle ax^{4}+bx^{2}+c=0}$, где ${\displaystyle a,b,c}$ — заданные комплексные числа и ${\displaystyle a\not =0}$. Иначе говоря, это уравнение четвёртой степени, у которого второй и четвёртый коэффициенты равны нулю. Подстановкой ${\displaystyle y=x^{2};y\geqslant 0}$ оно сводится к квадратному уравнению относительно ${\displaystyle y}$.

Четыре его корня находятся по формуле

${\displaystyle x_{1,2,3,4}=\pm {\sqrt {\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}.}$

Возвратные уравнения четвёртой степени

Возвратное уравнение четвёртой степени является также относительно легко решаемым: для ${\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+bx+a=0}$ такого, что ${\displaystyle a\neq 0}$, решение находится приведением к виду:

${\displaystyle a\left(x^{2}+{1 \over x^{2}}\right)+b\left(x+{1 \over x}\right)+c=0}$,

После замены ${\displaystyle t={x+{1 \over x}}}$ ищется решение квадратного уравнения ${\displaystyle at^{2}+bt+c-2a=0}$, а затем — квадратного уравнения ${\displaystyle x^{2}-tx+1=0}$.