Уравнение ренормгруппы

Уравнение ренормгруппы (уравнение Каллана — Симанчика, уравнение Овсянникова — Каллана — Симанчика) — дифференциальное уравнение для корреляционных функций (пропагаторов), показывающее их независимость от масштаба рассмотрения. Оно имеет место, например, при рассмотрении динамики системы вблизи критической точки.

Вид уравнения

Уравнение имеет вид:

${\displaystyle ({\mathcal {D}}_{P\Gamma }+\gamma _{W}(g))W=0}$

${\displaystyle {\mathcal {D}}_{P\Gamma }=\mu {\partial \over \partial \mu }+\beta (g){\partial \over \partial g}-\sum _{i}\gamma _{i}(g)e_{i}{\partial \over \partial e_{i}}}$

где

• ${\displaystyle W}$ — корреляционная функция,
• ${\displaystyle g}$ — заряд (константа связи),
• ${\displaystyle \mu }$ — вспомогательный размерный параметр, называемый ренормировочной массой,
• ${\displaystyle e_{i}}$ — прочие параметры, характеризующие отклонение от критической точки,
• ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{P\Gamma }}$ для всех одинаков,
• коэффициент при ${\displaystyle {\partial \over \partial g}}$ — ${\displaystyle \beta }$-функция, ${\displaystyle \beta (g)=\mu {\partial g \over \partial \mu }}$,
• ${\displaystyle \gamma _{i}}$ — аномальные размерности,
• ${\displaystyle \gamma _{W}}$ — аномальная размерность функции ${\displaystyle W}$.

В общем случае уравнение может быть расширено на любые ренорминвариантные величины — те величины, которые зависят только от затравочных параметров ${\displaystyle e_{i}}$. Такими величинами, например, являются функции Грина и различные функционалы над ней (производящий функционал связных функций Грина ${\displaystyle W}$, производящий функционал 1-неприводимых функций Грина ${\displaystyle \Gamma }$).

Соотношения, связывающие ренормированные и неренормированные производящие функционалы:

• полных функций Грина ${\displaystyle G_{R}(A)=G(Z_{\varphi }^{-1}A)}$, где ${\displaystyle G(A)=\langle \exp(A\varphi )\rangle _{\varphi }}$;
• связных функций Грина ${\displaystyle W_{R}(A)=W(Z_{\varphi }^{-1}A)}$, где ${\displaystyle W=\ln(G(A))}$.
• 1-неприводимых функций Грина ${\displaystyle \Gamma _{R}(\alpha )=\Gamma (Z_{\varphi }\alpha )}$, где ${\displaystyle \Gamma (\alpha )=W(A(\alpha ))-A\cdot \alpha ,\alpha ={\delta W \over \delta A}}$.

Тогда уравнение запишется в виде:

• Для ренормированной связной функции ${\displaystyle W_{R}(A)}$:

  ${\displaystyle ({\mathcal {D}}_{P\Gamma }+\gamma _{\varphi }{\mathcal {D}}_{A})W_{R}(A;e,\mu )=0}$, где ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{A}=\int dxA(x){\delta \over \delta A(x)}}$,

• Для ренормированной 1-неприводимой функции ${\displaystyle \Gamma _{R}(\alpha )}$:

  ${\displaystyle ({\mathcal {D}}_{P\Gamma }-\gamma _{\varphi }{\mathcal {D}}_{A})\Gamma _{R}(\alpha ;e,\mu )=0}$, где ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{A}=\int dx\alpha (x){\delta \over \delta \alpha (x)}}$

В обоих уравнениях ${\displaystyle \gamma _{\varphi }={\mathcal {D}}_{P\Gamma }\ln(Z_{\varphi })}$. Коэффициенты при производных в операторе ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{P\Gamma }}$ и величину ${\displaystyle \gamma _{\varphi }}$ называют РГ-функциями.

Физический смысл

При рассмотрении систем многих частиц, например, в квантовой теории поля или в теории критического поведения и стохастической динамике, часто оказывается, что функциональный интеграл, описывающий усреднение некоторой величины по различным конфигурациям системы, расходится. Тем не менее, оказывается возможным получить различную информацию о системе при помощи различных методов регуляризации и ренормировки. Одним из широко распространенных методов является мультипликативная ренормировка. Суть этого метода в том, что функции Грина являются обобщенно-однородными функциями параметров модели. Уже из этого свойства функций Грина можно многое сказать об их поведении вблизи критических точек, например, о критических показателях, если речь идет о критическом поведении систем многих частиц, или о том, как изменяется константа связи модели при изменении энергии взаимодействия частиц, если речь идет о квантовой электродинамике. При этом, уравнение ренормгруппы позволяет перейти от прямого анализа функций Грина модели непосредственно к анализу параметров и наблюдаемых величин.

Вывод уравнения

Вывод уравнения ренормгруппы основан на свойстве обобщенной однородности и гипотезе подобия.

Обозначим через ${\displaystyle \phi _{0}}$ и ${\displaystyle \phi }$ затравочное и перенормированное поля соответственно. Тогда парный коррелятор неперенормированных полей задается как ${\displaystyle W_{0}=\langle \phi _{0}(x_{1})\phi _{0}(x_{2})\rangle }$, а перенормированных: ${\displaystyle W=\langle \phi (x_{1})\phi (x_{2})\rangle }$. Согласно определению обобщенно-однородной (лямбда-однородной) функции ${\displaystyle Z^{n/2}W(x_{1},x_{2},\mu ,g(\mu ),\{e_{i}(\mu )\})=W_{0}(x_{1},x_{2}),\{e_{i}(\mu )\}-}$ набор наблюдаемых параметров системы. Теперь изменим немного параметры системы, но оставим неизменными импульс обрезания и затравочные константы. Очевидно, что при этом неперенормированные функции Грина не изменятся, так как они зависят только от импульса обрезания и затравочных констант. Поэтому полная производная по параметру \mu от обеих частей равна 0. Координаты частиц явно не зависят от масштаба ${\displaystyle \mu }$. Следовательно, имеем:

${\displaystyle ({\mathcal {D}}_{P\Gamma }+\gamma _{W}(g))W=0,{\mathcal {D}}_{P\Gamma }=\mu {\partial \over \partial \mu }+\beta (g){\partial \over \partial g}-\sum _{i}\gamma _{i}(g)e_{i}{\partial \over \partial e_{i}}}$

Примечание

В некоторых источниках под уравнением ренормгруппы понимается не вышеописанное уравнение, а одно из его следствий:

${\displaystyle {\partial g \over \partial \ln(\mu )}=\psi (g)=\beta (g)}$.

И та, и другая форма уравнения ренормгруппы имеет как свои плюсы, так и минусы. К плюсам этой формы записи относится явный вид зависимости константы связи от масштаба энергии, к минусам — не очевидно, как выглядят аномальные размерности модели. Тем не менее, этот вид уравнения сыграл значительную роль в становлении квантовой электродинамики и теоретическом обосновании сильного взаимодействия.

См. также

• Ренормгруппа

Литература

• Васильев А. Н. Квантовополевая ренормгруппа в теории критического поведения и стохастической динамике. — СПб.: издательство ПИЯФ, 1998.