Функция Грина

Фу́нкция Гри́на — функция, используемая для решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений с граничными условиями (неоднородной краевой задачи). Названа в честь английского математика Джорджа Грина, который первым развил соответствующую теорию в 1830-е годы.

Интуитивная анимация, показывающая, как функции Грина, решающие дифференциальное уравнение с точечным источником, могут быть наложены друг на друга для решения его с произвольным источником.

Функции Грина полезны в электростатике — для решения уравнения Пуассона; в теории конденсированных сред — они позволяют решить уравнение диффузии (и совпадающее с ним уравнение теплопроводности); в квантовой механике — функция Грина гамильтониана является одной из ключевых функций и связана с плотностью состояний. Функции Грина, используемые в этих областях, очень похожи, поскольку уравнения диффузии и уравнение Шрёдингера в некотором смысле подобны. Все области математической и теоретической физики, где крайне полезны функции Грина, пожалуй, трудно даже перечислить. Они помогают находить стационарные и нестационарные решения, в том числе при разнообразных граничных условиях.

В физике элементарных частиц и статистической физике функции Грина используются как пропагаторы в диаграммах Фейнмана (и выражение «функция Грина» часто применяется вообще к корреляционной функции в квантовой теории поля). Функция Грина широко применяется в приложениях теории рассеяния к физике твёрдого тела (рентгенография, расчёты электронных спектров металлических материалов).

Определение и использование

Функция Грина ${\displaystyle G(x,s)}$ линейного дифференциального оператора ${\displaystyle L=L(x)}$, действующего на обобщённых функциях на подмножестве евклидового пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ в точке ${\displaystyle s}$, — это любое решение уравнения

${\displaystyle L~G(x,s)=\delta (x-s)}$,

где ${\displaystyle \ \delta }$ — это дельта-функция Дирака. Это свойство функции Грина может использоваться для решения дифференциального уравнения вида

${\displaystyle L~u(x)=f(x)}$,

Функция Грина — это обратный оператор к ${\displaystyle L}$, поэтому её нередко символически обозначают как ${\displaystyle L^{-1}}$.

Если ядро оператора ${\displaystyle L}$ нетривиально, то функция Грина не единственна. Однако на практике использование принципа симметрии, граничных условий или других дополнительных условий позволяет определить конкретную функцию Грина. Вообще говоря, функция Грина — не обычная, а обобщённая функция, то есть она может выпадать из класса обычных функций, например, иметь особенности вида дельта-функции или её производных.

Функция Грина — это также полезный инструмент для решения волнового уравнения, уравнения диффузии и квантовомеханических уравнений, где функция Грина оператора Гамильтона играет важнейшую роль и связана с плотностью состояний. В физике функция Грина обычно определяется с противоположным знаком:

${\displaystyle L~G(x,s)=-\delta (x-s)}$,

что не меняет существенно её свойства.

Если оператор трансляционно инвариантен, то есть если ${\displaystyle L}$ имеет постоянные коэффициенты по отношению к ${\displaystyle x}$, то функция Грина может быть выбрана в виде конволюционного оператора

${\displaystyle G(x,s)=G(x-s)}$.

В таком случае она совпадает с импульсной переходной функцией из теории линейных стационарных систем.