Уравнение эйконала

Уравнение эйконала (от др.-греч. εἰκών — изображение) — нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных, встречающееся в задачах распространения волн, когда волновое уравнение аппроксимируется с помощью квазиклассического приближения. Это уравнение выводится из уравнений Максвелла и связывает волновую оптику с геометрической оптикой.

Формулировка

Уравнение эйконала может быть представлено в форме:

${\displaystyle |\nabla u(x)|=F(x),\ x\in \Omega }$

${\displaystyle u|_{\partial \Omega }=0}$, где

${\displaystyle \Omega }$ есть подмножество в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Здесь

• ${\displaystyle F(x)}$ — функция с положительными значениями, связанная со скоростью распространения волн в среде.
• ${\displaystyle \nabla }$ — обозначает градиент,
• ${\displaystyle |\dots |}$ — Евклидова норма.

Примеры

• Если ${\displaystyle F\equiv 1}$, то функция расстояния до ${\displaystyle \partial \Omega }$ удовлетворяет уравнению эйконала.

Ссылки

• Приближение коротких длин волн. Уравнение эйконала

Литература

• Борн М., Вольф Э. Основы оптики / Пер. с англ. — М., 1973.