Квазиклассическое приближение

Квазикласси́ческое приближе́ние, также известное как метод ВКБ (Ве́нтцеля — Кра́мерса — Бриллюэ́на) — пример квазиклассического вычисления в квантовой механике, в котором волновая функция представлена как показательная функция, квазиклассически расширенная, а затем или амплитуда, или фаза медленно изменяются. Метод назван в честь физиков Г. Вентцеля, Х. А. Крамерса и Л. Бриллюэна, которые развили его в 1926 году независимо друг от друга.

В 1923 году математик Гарольд Джеффри разработал общий метод приближённого решения линейных дифференциальных уравнений второго порядка, который включает и решение уравнения Шрёдингера. Но, так как уравнение Шрёдингера появилось два года спустя, ни Вентцель, ни Крамерс, ни Бриллюэн, очевидно, не знали эту более раннюю работу. В некотором смысле исторически квазиклассическое приближение предшествовало методу ВКБ и понятию волновой функции вообще: так называемая «старая квантовая теория» изучала тот же предельный случай эмпирически в 1900—1925 гг.

Наиболее частое применение квазиклассического решения — приближённые формулы для нахождения энергий уровней в квантовых ямах и вероятностей прохождения туннельных барьеров в случаях, когда получение точного решения невозможно.

Вид квазиклассического решения

Одномерное стационарное уравнение Шрёдингера записывается как

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)+V(x)\Psi (x)=E\Psi (x)}$,

где ${\displaystyle \Psi }$ — искомая волновая функция, ${\displaystyle V}$ — потенциальная энергия, ${\displaystyle x}$ — координата, ${\displaystyle m}$ — масса частицы, ${\displaystyle E}$ — её полная энергия, ${\displaystyle \hbar }$ — редуцированная постоянная Планка.

Квазиклассический подход даёт для такого уравнения приближённое решение

${\displaystyle \Psi (x)=\left({\frac {\text{const}}{2m[E-V(x)]}}\right)^{1/4}\exp \left(\pm {\frac {i}{\hbar }}\int ^{x}\mathrm {d} {\tilde {x}}{\sqrt {2m(E-V({\tilde {x}}))}}\right)}$,

где ${\displaystyle i}$ — мнимая единица, а знак ${\displaystyle \pm }$ отражает наличие двух вариантов. Нижний предел интеграла здесь и далее в подобных случаях можно взять произвольно ввиду наличия неопределённых предэкспоненциальных констант.

Математический вывод

Приведённое выше уравнение Шрёдингера можно переписать в форме

${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)\Psi (x)}$.

Мы представим волновую функцию в виде экспоненциальной функции другой неизвестной функции ${\displaystyle \Phi }$:

${\displaystyle \Psi (x)=\exp(\Phi (x))}$,

тогда ${\displaystyle \Phi }$ должна удовлетворять уравнению

${\displaystyle \Phi ''(x)+\left[\Phi '(x)\right]^{2}={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)}$,

где ${\displaystyle \Phi '}$ означает производную от ${\displaystyle \Phi }$ по ${\displaystyle x}$. Разделим ${\displaystyle \Phi '(x)}$ на действительную и мнимую части, вводя действительные функции ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$:

${\displaystyle \Phi '(x)=A(x)+iB(x)}$.

Тогда амплитуда волновой функции ${\displaystyle \exp(\int ^{x}A({\tilde {x}})d{\tilde {x}})}$, а фаза ${\displaystyle {\int ^{x}B({\tilde {x}})d{\tilde {x}}}}$.

Из уравнения Шрёдингера следуют два уравнения, которым должны удовлетворять эти функции:

${\displaystyle A'(x)+A(x)^{2}-B(x)^{2}={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)\;}$

${\displaystyle B'(x)+2A(x)B(x)=0.\;}$

Мы хотим рассмотреть квазиклассическое приближение, чтобы решить эти уравнения. Это означает, что мы разложим каждую функцию как ряд по степеням ${\displaystyle \hbar }$. Из уравнений мы можем видеть, что степенной ряд должен начинаться со слагаемого ${\displaystyle \hbar ^{-1}}$, чтобы удовлетворить действительной части уравнения. Но, поскольку нам нужен хороший классический предел, мы также хотим начать разложение со столь высокой степени постоянной Планка, насколько это возможно.

${\displaystyle A(x)={\frac {1}{\hbar }}\sum _{i=0}^{\infty }\hbar ^{i}A_{i}(x),\qquad B(x)={\frac {1}{\hbar }}\sum _{i=0}^{\infty }\hbar ^{i}B_{i}(x)}$

С точностью до первого порядка разложения уравнения запишутся в виде

${\displaystyle A_{0}(x)^{2}-B_{0}(x)^{2}=2m\left(V(x)-E\right)}$

${\displaystyle A_{0}(x)B_{0}(x)=0}$

Если амплитуда меняется слабее, чем фаза, то можно положить ${\displaystyle A_{0}(x)=0}$ и получить

${\displaystyle B_{0}(x)=\pm {\sqrt {2m\left(E-V(x)\right)}}}$

Это верно только если полная энергия больше потенциальной энергии. После аналогичных вычислений для следующего порядка малости получим

${\displaystyle \Psi (x)\approx C{\frac {e^{i(\int ^{x}d{\tilde {x}}{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(E-V({\tilde {x}})\right)}}+\theta )}}{\sqrt[{4}]{{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(E-V(x)\right)}}}}$

С другой стороны, если фаза меняется медленно по сравнению с амплитудой, мы положим ${\displaystyle B_{0}(x)=0}$ и получим

${\displaystyle A_{0}(x)=\pm {\sqrt {2m\left(V(x)-E\right)}}}$.

Это верно, если потенциальная энергия больше полной. Для следующего порядка малости получим

${\displaystyle \Psi (x)\approx {\frac {C_{+}e^{+\int ^{x}d{\tilde {x}}{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V({\tilde {x}})-E\right)}}}+C_{-}e^{-\int ^{x}d{\tilde {x}}{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V({\tilde {x}})-E\right)}}}}{\sqrt[{4}]{{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)}}}}$

В выписанных выражениях ${\displaystyle C}$ со значком или без значка, а также ${\displaystyle \theta }$ обозначают произвольные константы.

Из-за знаменателя оба приближённых решения расходятся около классической точки поворота, где ${\displaystyle E=V(x)}$, и не могут быть правильными. Мы имеем приблизительные решения далеко от потенциального барьера и ниже потенциального холма. Далеко от потенциального барьера частицы ведут себя подобно свободной волне — фаза осциллирует. Ниже потенциального барьера частица подвергается экспоненциальным изменениям в амплитуде.

Чтобы полностью решить задачу, необходимо найти способ избежать расходимости, связать коэффициенты и получить глобальное приблизительное решение. Обозначим классическую точку поворота через ${\displaystyle x_{1}}$. Вблизи ${\displaystyle E=V(x_{1})}$, можно разложить ${\displaystyle {\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)}$ в ряд:

${\displaystyle {\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)=U_{1}(x-x_{1})+U_{2}(x-x_{1})^{2}+\cdots }$.

Для первого порядка имеем уравнение

${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)=U_{1}(x-x_{1})\Psi (x)}$.

Решение его вблизи точек поворота выглядит следующим образом:

${\displaystyle \Psi (x)={\sqrt {x-x_{1}}}\left(C_{+}J_{+{\frac {1}{3}}}\left({\frac {2}{3}}{\sqrt {U_{1}}}(x-x_{1})^{\frac {1}{3}}\right)+C_{-}J_{-{\frac {1}{3}}}\left({\frac {2}{3}}{\sqrt {U_{1}}}(x-x_{1})^{\frac {1}{3}}\right)\right)}$,

где ${\displaystyle J}$ — функция Бесселя с индексом ${\displaystyle \pm 1/3}$.

Используя известные из математических справочников асимптотики данного решения, можно найти отношения между ${\displaystyle C,\theta }$ и ${\displaystyle C_{+},C_{-}}$:

${\displaystyle C_{+}={\frac {1}{2}}C\cos {\left(\theta -{\frac {\pi }{4}}\right)},\qquad C_{-}=-{\frac {1}{2}}C\sin {\left(\theta -{\frac {\pi }{4}}\right)}}$.

Этим построение глобального решения завершается.

Формулы для барьера и ямы

Частица с полной энергией ${\displaystyle E}$ ниже максимальной высоты ${\displaystyle V_{max}}$ потенциального барьера в классической физике неспособна пройти данный барьер. Однако в квантовой механике, благодаря волновым свойствам частицы, такое прохождение становится возможным и носит название туннельного эффекта. В квазиклассическом приближении вероятность прохождения ${\displaystyle T}$ описывается формулой

${\displaystyle T\approx \exp \left(-{\frac {2}{\hbar }}\int _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {2m(V(x)-E)}}\,dx\right)}$,

где ${\displaystyle x_{1}}$, ${\displaystyle x_{2}}$ — точки поворота, фиксирующие границы классически недоступной области ${\displaystyle V(x)>E}$, то есть это координаты, в которых потенциальная энергия ${\displaystyle V(x)}$ равняется полной.

Формула получается на базе выписанного ранее➤ выражения для ${\displaystyle \Psi }$, учитывая, что ${\displaystyle T\sim |\Psi (x_{2})|^{2}/|\Psi (x_{1})|^{2}}$, откуда понятны и именно такая постановка границ в интеграле для ${\displaystyle T}$, и появление там двойки перед интегралом. Предэкспоненциальный множитель в обеих точках поворота бесконечен, но при делении стремится к некоторому близкому к единице пределу, которым чаще всего пренебрегают^[1].

При анализе туннелирования в реальных структурах формулу для ${\displaystyle T}$ инкорпорируют в более сложные формулы для туннельного тока.

Если частица пребывает в квантовой яме с профилем ${\displaystyle V(x)}$, уровни энергии ${\displaystyle E_{n}}$ в данной яме квазиклассически рассчитываются из уравнения

${\displaystyle \int _{x_{1}(E_{n})}^{x_{2}(E_{n})}{\sqrt {2m(E_{n}-V(x))}}\,dx=\pi \hbar \left(n+{\frac {1}{2}}\right),\quad n=0,\,1,\,2,\ldots }$.

Такое уравнение требует численного решения, но это проще, чем численно решать само уравнение Шрёдингера, и может быть осуществлено методами итераций; границы интегрирования зависят от искомой энергии и находятся из условия ${\displaystyle V(x_{1|2})=E}$ (${\displaystyle E}$ — «пробная» энергия на шаге итерации).

Эта формула для уровней ямы получается^[1] с использованием квазиклассической функции ${\displaystyle \Psi (x)}$.