Функция Гамильтона

Термин «Гамильтониан» имеет также другие значения.

Эта статья включает описание термина «полная энергия»

Функция Га́мильтона, или гамильтониа́н — функция, зависящая от обобщённых координат, импульсов и, возможно, времени, описывающая динамику механической системы в гамильтоновой формулировке классической механики.

${\displaystyle H(p,q),}$

или

${\displaystyle H(p,q,t),}$

где ${\displaystyle p=(p_{1},p_{2},...,p_{n})}$ — полный набор обобщённых импульсов, описывающий данную систему (${\displaystyle n}$ — число степеней свободы),

${\displaystyle q=(q_{1},q_{2},...,q_{n})}$ — полный набор обобщённых координат.

В квантовой механике и квантовой теории поля гамильтониан, или оператор Гамильтона, определяющий временну́ю эволюцию системы, соответствует функции Гамильтона в классической физике и является её обобщением, в принципе достаточно прямым, однако в ряде случаев не совсем тривиальным (в принципе квантовый гамильтониан может быть получен просто подстановкой квантовых операторов координат и импульсов в функцию Гамильтона, однако из-за того, что такие операторы не всегда коммутируют, может быть не сразу очевиден выбор правильного варианта из возникающих вследствие этого).

В формализме фейнмановского интеграла по траекториям в квантовой механике и квантовой теории поля используется и просто классическая функция Гамильтона.

Функция Гамильтона участвует в гамильтоновой форме принципа наименьшего (стационарного) действия, канонических уравнениях Гамильтона (одной из возможных форм уравнения движения в классической механике) и уравнении Гамильтона — Якоби, являясь основой гамильтоновой формулировки механики.

Для консервативных систем функция Гамильтона представляет полную энергию (выраженную как функция координат и импульсов), то есть — в классическом смысле — сумму кинетической и потенциальной энергий системы.

Функция Гамильтона связана с лагранжианом через преобразование Лежандра следующим соотношением:

${\displaystyle H={\vec {p}}\cdot {\dot {\vec {q}}}-L,}$

где ${\displaystyle {\vec {p}}}$ — обобщённый импульс частицы, а ${\displaystyle {\dot {\vec {q}}}}$ — её обобщённая скорость.

Физический смысл

Функция Гамильтона по сути представляет собой локальный закон дисперсии, выражающий квантовую частоту (частоту колебаний волновой функции) ${\displaystyle \omega }$ через волновой вектор ${\displaystyle \mathbf {k} }$ для каждой точки ${\displaystyle \mathbf {x} }$ пространства^[1]:

${\displaystyle \omega =H(\mathbf {k} ,\mathbf {x} ).}$

Так, в классическом приближении (при больших частотах и модуле волнового вектора и сравнительно медленной зависимости от ${\displaystyle \mathbf {x} }$) этот закон достаточно очевидно описывает движение волнового пакета через канонические уравнения Гамильтона, одни из которых ${\displaystyle ({\dot {q}}_{i}=\partial H/\partial p_{i})}$ интерпретируются как формула групповой скорости, полученная из закона дисперсии, а другие ${\displaystyle ({\dot {p}}_{i}=-\partial H/\partial q_{i})}$ вполне естественно — как изменение, в частности поворот, волнового вектора при распространении волны в неоднородной среде определённого типа.