Устойчивое распределение

Усто́йчивое распределе́ние в теории вероятностей — это такое распределение, которое может быть получено как предел по распределению сумм независимых случайных величин.

Определение

Функция распределения ${\displaystyle F(x)}$ называется устойчивой, если для любых действительных чисел ${\displaystyle a_{1}>0,a_{2}>0,b_{1},b_{2}}$ найдутся числа ${\displaystyle a>0,b}$ такие, что имеет место равенство: ${\displaystyle F(a_{1}x+b_{1})*F(a_{2}x+b_{2})=F(ax+b)}$, где * - операция свёртки. Если ${\displaystyle \phi (t)}$ является характеристической функцией устойчивого распределения, то для любых ${\displaystyle a_{1}>0,a_{2}>0}$ найдутся числа ${\displaystyle a>0,b}$ такие, что ${\displaystyle \phi ({\frac {t}{a_{1}}})\phi ({\frac {t}{a_{2}}})=\phi ({\frac {t}{a}}){e}^{-itb}}$.^[1]

Замечания

• Если ${\displaystyle F_{X}}$ — функция устойчивого распределения, то ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,\;\exists a_{n}>0,b_{n}\in \mathbb {R} }$, такие что

${\displaystyle F_{X}\left({\frac {x-b_{n}}{a_{n}}}\right)=\underbrace {F_{X}(x)*\cdots *F_{X}(x)} _{n},\quad \forall x\in \mathbb {R} }$,

где ${\displaystyle *}$ обозначает свёртку.

• Если ${\displaystyle \phi _{X}}$ — характеристическая функция устойчивого распределения, то ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,\;\exists a_{n},b_{n}\in \mathbb {R} }$, такие что

${\displaystyle \phi _{X}^{n}(t)=\phi _{X}(a_{n}t)\,e^{ib_{n}t}}$.

Свойства устойчивых распределений

• Пусть ${\displaystyle \xi _{1},\xi _{2},...,\xi _{n}}$ — независимые одинаково распределённые случайные величины и ${\displaystyle \eta _{n}={\frac {1}{\beta _{n}}}\sum _{k=1}^{n}\xi _{k}-\alpha _{n}}$, где ${\displaystyle \beta _{n}>0,\alpha _{n}}$ — некоторые нормирующие и центрирующие константы. Если ${\displaystyle F_{n}(x)}$ — функция распределения случайных величин ${\displaystyle \eta _{n}}$, то предельными распределениями для ${\displaystyle F_{n}(x)}$ при ${\displaystyle n\to \infty }$ могут быть лишь устойчивые распределения. Верно обратное: для любого устойчивого распределения ${\displaystyle F(x)}$ существует такая последовательность случайных величин ${\displaystyle \eta _{n}={\frac {1}{\beta _{n}}}\sum _{k=1}^{n}\xi _{k}-\alpha _{n}}$, что ${\displaystyle F_{n}(x)}$ сходится к ${\displaystyle F(x)}$ при ${\displaystyle n\to \infty }$.^[1]

• (Представление Леви — Хинчина) Логарифм характеристической функции случайной величины с устойчивым распределением имеет вид:

${\displaystyle \ln \phi (t)={\begin{cases}it\beta -d|t|^{\alpha }\left(1+i\theta {\frac {t}{|t|}}G(t,\alpha )\right),&t\not =0,\\0,&t=0.\end{cases}}}$

где ${\displaystyle 0<\alpha \leq 2,\;\beta \in \mathbb {R} ,\;d\geq 0,\;|\theta |\leq 1,}$ и

${\displaystyle G(t,\alpha )={\begin{cases}\mathrm {tg} {\frac {\pi }{2}}\alpha ,&\alpha \not =1,\\{\frac {2}{\pi }}\ln |t|,&\alpha =1.\end{cases}}}$

См. также

• Бесконечно делимое распределение.