Фильтрация (случайные процессы)

У этого термина существуют и другие значения, см. Фильтрация.

Фильтра́ция в теории случайных процессов — неубывающее семейство σ-алгебр.

Определение

Пусть дано вероятностное пространство ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ и подмножество числовой прямой ${\displaystyle T\subset \mathbb {R} }$. Семейство σ-алгебр ${\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{t}\}_{t\in T}}$ такое, что

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{s}\subset {\mathcal {F}}_{t}\subset {\mathcal {F}},\quad \forall s\leq t,\;s,t\in T,}$

называется фильтра́цией вероя́тностного простра́нства ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$.

Естественная фильтрация случайного процесса

Пусть дан случайный процесс ${\displaystyle \{X_{t}\}_{t\in T}}$, определённый на некотором вероятностном пространстве. Определим

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}^{X}=\sigma \{X_{s}\mid s\leq t,\;s\in T\},\quad t\in T.}$.

Тогда семейство ${\displaystyle \left\{{\mathcal {F}}_{t}^{X}\right\}_{t\in T}}$ является фильтрацией и называется есте́ственной фильтрацией случайного процесса ${\displaystyle \{X_{t}\}}$.

См. также

• Марковский процесс
• Мартингал

Литература

• Скороход А. В. Вероятность. Прикладные аспекты, Теория вероятностей — 1, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, 43, ВИНИТИ, М., 1989, стр. 189—270
• Ширяев А. Н. Вероятность, — М.: Наука, 1989.