Фильтр с конечной импульсной характеристикой

Фильтр с коне́чной и́мпульсной характери́стикой (нерекурси́вный фильтр, трансверса́льный фильтр, КИХ-фильтр) или FIR-фильтр (FIR сокр. от finite impulse response — конечная импульсная характеристика) — один из видов линейных фильтров, характерной особенностью которого является ограниченность по времени его импульсной характеристики (с какого-то момента времени его выходной сигнал становится точно равным нулю).

Такой фильтр называют часто нерекурсивным из-за отсутствия обратной связи. Знаменатель передаточной функции такого фильтра — константа.

Может быть реализован как в цифровом виде (аппаратном или программном), так и в аналоговой структуре.

Динамические характеристики

Разностное уравнение, описывающее связь между входным и выходным сигналами фильтра:

${\displaystyle y\left(n\right)=b_{0}x\left(n\right)+b_{1}x\left(n-1\right)+\dots +b_{P}x\left(n-P\right),}$

где ${\displaystyle P}$ — порядок фильтра,

${\displaystyle x(n)}$ — входной сигнал,

${\displaystyle y(n)}$ — выходной сигнал,

${\displaystyle b_{i}}$ — коэффициенты фильтра.

Иными словами, значение любого отсчета выходного сигнала определяется суммой масштабированных значений ${\displaystyle P}$ предыдущих отсчетов в силу свойства линейности. Можно сказать иначе: значение выхода фильтра в любой момент времени есть значение отклика на мгновенное значение входа и сумма всех постепенно затухающих откликов ${\displaystyle P}$ предыдущих отсчетов сигнала, которые всё ещё оказывают влияние на выход (после ${\displaystyle P}$ отсчетов импульсная переходная функция становится равной нулю, поэтому все члены после ${\displaystyle P}$-го тоже станут равными нулю). Запишем предыдущее уравнение в более ёмком виде:

${\displaystyle y\left(n\right)=\sum _{i=0}^{P}b_{i}x\left(n-i\right).}$

Для того, чтобы найти ядро фильтра, положим:

${\displaystyle x(n)=\delta (n),}$

где ${\displaystyle \delta (n)}$ — дельта-функция Дирака.

Тогда импульсная характеристика КИХ-фильтра может быть записана как:

${\displaystyle h\left(n\right)=\sum _{i=0}^{P}b_{i}\delta \left(n-i\right).}$

Z-преобразование импульсной характеристики даёт нам передаточную функцию КИХ-фильтра:

${\displaystyle H\left(z\right)=\sum _{i=0}^{P}b_{i}z^{-i}.}$

Свойства

КИХ-фильтр обладает рядом полезных свойств, из-за которых он иногда более предпочтителен в использовании, чем БИХ-фильтр. Вот некоторые из них:

• КИХ-фильтры всегда устойчивы.
• У КИХ-фильтров нет обратной связи.
• Зависимость фазового сдвига от частоты входного гармонического сигнала у КИХ-фильтров может быть сделана линейной.

Прямая форма КИХ-фильтра

Структура прямой формы КИХ-фильтра

КИХ-фильтры могут быть реализованы с использованием трех элементов: умножителей на заданный коэффициент, сумматора и блоков задержки. На рисунке изображена прямая реализация КИХ-фильтров типа 1 порядка ${\displaystyle N.}$ Сверху рисунка изображена линия задержки с ${\displaystyle N+1}$ отводами. Каждая единичная задержка (отвод) является оператором ${\displaystyle z-1}$ в терминах Z-преобразования, снизу блок умножителей на заданные постоянные коэффициенты и сумматор всех выходов блоков умножения.

См. также

• Электронный фильтр
• Цифровой фильтр
• Фильтр с бесконечной импульсной характеристикой
• Z-преобразование
• Скользящая средняя (фильтр)
• Фильтр Линквица — Райли

Ссылки

• Расчет КИХ фильтра с линейной фазочастотной характеристикой методом частотной выборки.
• FIR FAQ.