Формула Дарси — Вейсбаха

Формула Вейсбаха^[1] в гидравлике — эмпирическая формула, определяющая потери напора или потери давления при развитом турбулентном течении несжимаемой жидкости на гидравлических сопротивлениях (предложена Юлиусом Вейсбахом в 1855 году):

${\displaystyle \Delta h=\xi \cdot {\frac {V^{2}}{2g}},}$

где

${\displaystyle \Delta h}$ — потери напора на гидравлическом сопротивлении;

${\displaystyle \xi }$ — коэффициент местного сопротивления (коэффициент потерь);

${\displaystyle V}$ — средняя скорость течения жидкости;

${\displaystyle g}$ — ускорение свободного падения.

Величина ${\displaystyle {\frac {V^{2}}{2g}}}$ называется скоростным (или динамическим) напором.

Формула Вейсбаха, определяющая потери давления на гидравлических сопротивлениях, имеет вид

${\displaystyle \Delta P=\xi \cdot {\frac {V^{2}}{2}}\cdot \rho ,}$

где

${\displaystyle \Delta P}$ — потери давления на гидравлическом сопротивлении;

${\displaystyle \rho }$ — плотность жидкости.

Формула Дарси — Вейсбаха

Если гидравлическое сопротивление представляет собой участок трубы длиной ${\displaystyle L}$ и диаметром ${\displaystyle D}$, то коэффициент потерь ${\displaystyle \xi }$ определяется следующим образом:

${\displaystyle \xi =\lambda {\frac {L}{D}},}$

где ${\displaystyle \lambda }$ — коэффициент потерь на трение по длине (коэффициент Дарси).

Тогда формула Вейсбаха приобретает вид

${\displaystyle \Delta h=\lambda {\frac {L}{D}}{\frac {V^{2}}{2g}},}$

или для потери давления:

${\displaystyle \Delta P=\lambda {\frac {L}{D}}{\frac {V^{2}}{2}}\rho .}$

Последние две зависимости получили название формулы Дарси — Вейсбаха^[2]. Предложена Ю. Вейсбахом (1845) и А. Дарси (1857).

Если определяются потери на трение по длине для трубы некруглого поперечного сечения, то ${\displaystyle D}$ представляет собой гидравлический диаметр.

Следует отметить, что потери напора на гидравлических сопротивлениях не всегда пропорциональны скоростному напору.

Определение коэффициента потерь на трение по длине

Графики для определения коэффициента потерь на трение по длине для шероховатых труб (k — размер шероховатости, d — диаметр трубы)

Коэффициент ${\displaystyle \lambda }$ определяется по-разному для разных случаев.

Для гидравлически шероховатых труб коэффициент потерь на трение по длине определяется графически по эмпирическим зависимостям.

Для ламинарного течения в гладких трубах с жёсткими стенками коэффициент потерь на трение по длине определяется по формуле Пуазейля:

${\displaystyle \lambda ={\frac {64}{\mathrm {Re} }},}$

где ${\displaystyle \mathrm {Re} }$ — число Рейнольдса.

Иногда для гибких труб в расчётах принимают

${\displaystyle \lambda ={\frac {68}{\mathrm {Re} }}.}$

Для турбулентного течения существуют более сложные зависимости. Одна из наиболее часто используемых формул — это формула Блазиуса:

${\displaystyle \lambda ={\frac {0{,}316}{\sqrt[{4}]{\mathrm {Re} }}}.}$

Эта формула даёт хорошие результаты при числах Рейнольдса, изменяющихся в пределах от критического числа Рейнольдса ${\displaystyle \mathrm {Re_{\text{кр}}} =2300}$ до значений ${\displaystyle \mathrm {Re} =10^{5}}$. Формула Блазиуса применяется для гидравлически гладких труб.

Для значений ${\displaystyle \mathrm {Re} =10^{5}{-}10^{6}}$ применяют формулу Никурадзе: ${\displaystyle \lambda =0{,}0032+0{,}221/\mathrm {Re} ^{0{,}237}.}$^[3] Также применяются формулы Женеро, Альтшуля, Канакова и других.

Для значений Рейнольдса больше ${\displaystyle 10^{4}}$ применяется формула Горшкова-Кантакузена, полученная методом регрессионного анализа^[4]: ${\displaystyle \lambda =0{,}2579/\mathrm {Re} ^{0{,}231}.}$ Тем же автором была выведена формула для вычисления критерия Рейнольдса в гемодинамике (течении крови).^[5]

Определение коэффициента Дарси для местных сопротивлений

Рис. 1. Гидравлический конфузор: ${\displaystyle Q_{1}}$ — поток жидкости в широком сечении трубы; ${\displaystyle Q_{2}}$ — поток жидкости в узком сечении трубы

Для каждого вида местных сопротивлений существуют свои зависимости для определения коэффициента ${\displaystyle \xi }$.

К числу наиболее распространённых местных сопротивлений относятся внезапное расширение трубы, внезапное сужение трубы и поворот трубы.

1. При внезапном расширении трубы:

${\displaystyle \xi =\left(1-{\frac {S_{1}}{S_{2}}}\right)^{2},}$

где ${\displaystyle S_{1}}$ и ${\displaystyle S_{2}}$ — площади поперечного сечения трубы, соответственно перед расширением и после него.

2. При внезапном сужении трубы коэффициент Дарси определяется по формуле:

Рис. 2. Зависимость коэффициента Дарси от угла ${\displaystyle \delta }$ поворота трубы

${\displaystyle \xi ={\frac {1-S_{2}/S_{1}}{2}},}$

где ${\displaystyle S_{1}}$ и ${\displaystyle S_{2}}$ — площади поперечного сечения трубы, соответственно, перед сужением и после него.

3. При постепенном сужении трубы (конфузор):

${\displaystyle \xi ={\frac {\lambda _{T}}{8\sin {\alpha /2}}}\left(1-{\frac {1}{n^{2}}}\right),}$

где ${\displaystyle n={\frac {S_{1}}{S_{2}}}}$ — степень сужения; ${\displaystyle \lambda _{T}}$ — коэффициент потерь на трение по длине при турбулентном режиме.

4. При резком (без закругления) повороте трубы (колено) коэффициент Дарси определяется по графическим зависимостям (рис. 2).

История

Исторически формула Дарси — Вейсбаха была получена как вариант формулы Прони.

См. также

• Гидравлические потери
• Формула Борда — Карно
• Формула Прони
• Формула Шези