Формула Карно

У этого термина существуют и другие значения, см. Теорема Карно.

Фо́рмула Карно́ связывает сумму расстояний от центра описанной окружности треугольника до 3 его сторон и радиусов его вписанной и описанной окружностей. Названа в честь французского учёного Лазара Карно (1753—1823).

${\displaystyle DG+DH-DF=R+r}$

Формулировка

Пусть ${\displaystyle D}$ — центр описанной окружности треугольника ${\displaystyle ABC.}$ Тогда сумма расстояний от ${\displaystyle D}$ до сторон треугольника ${\displaystyle ABC,}$ взятых со знаком минус, когда высота из ${\displaystyle D}$ на сторону целиком лежит вне треугольника, будет равна:

${\displaystyle R+r}$,

где ${\displaystyle r}$ — радиус вписанной окружности, ${\displaystyle R}$ — описанной. В частности:

${\displaystyle \pm DF\pm DG\pm DH=R+r}$

при правильном выборе знаков^[1]:p.83.

Другие формулировки

Формула Карно^[2]:

${\displaystyle R+r=k_{a}+k_{b}+k_{c}={\frac {1}{2}}(d_{A}+d_{B}+d_{C}),}$

где ${\displaystyle k_{a},k_{b},k_{c}}$ — расстояния от центра описанной окружности соответственно до сторон ${\displaystyle a,b,c}$ треугольника (они берутся со знаком в зависимости от того на какой стороне находится центр), ${\displaystyle d_{A},d_{B},d_{C}}$ — расстояния от ортоцентра соответственно до вершин ${\displaystyle A,B,C}$ треугольника.

Расстояние от центра описанной окружности например до стороны ${\displaystyle a}$ треугольника равно:

${\displaystyle k_{a}=a/(2\mathop {\rm {tg}} A);}$

расстояние от ортоцентра например до вершины ${\displaystyle A}$ треугольника равно:

${\displaystyle d_{A}=a/(\mathop {\rm {tg}} A).}$

Если известны стороны треугольника ${\displaystyle a,b,c}$, то формула Карно принимает вид:

${\displaystyle R+r={\frac {abc+{\frac {1}{2}}(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}{\sqrt {(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}}}}$

Замечания

• В доказательстве теоремы используется теорема Птолемея.
• Формулу Карно часто называют теоремой Карно^[3].

Следствия

• Японская теорема о вписанном многоугольнике:^[3] Если вписанный ${\displaystyle n}$-угольник разрезать на ${\displaystyle n-2}$ треугольникa непересекающимися диагоналями, то сумма радиусов их вписанных окружностей не зависит от способа разрезания.
  • Более того, выпуклый ${\displaystyle n}$-угольник является вписанным, если это условие соблюдается.

Суммы радиусов зелёных и красных окружностей равны.