Неравенство Птолемея

Неравенство Птолемея — неравенство на 6 расстояний между четвёркой точек на плоскости.

Если 4 точки не лежат на одной окружности, то все три неравенства Птолемея строгие.

Названо в честь позднеэллинистического математика Клавдия Птолемея.

Формулировка

Для любых точек ${\displaystyle A,B,C,D}$ плоскости выполнено неравенство

${\displaystyle AC\cdot BD\leq AB\cdot CD+BC\cdot AD,}$

причём равенство достигается тогда и только тогда, когда ${\displaystyle ABCD}$ — выпуклый вписанный четырёхугольник, или точки ${\displaystyle A,B,C,D}$ лежат на одной прямой.

Случай равенства также называется тождеством Птолемея.

Доказательство

Простейшее доказательство получается с использованием комплексных чисел. Пусть комплексные числа ${\displaystyle z_{1},\,z_{2},\,z_{3},\,z_{4}}$ соответствуют точкам ${\displaystyle A,B,C,D}$ плоскости. Тогда неравенство Птолемея равносильно неравенству

${\displaystyle |z_{3}-z_{1}|\cdot |z_{4}-z_{2}|\leq |z_{3}-z_{2}|\cdot |z_{4}-z_{1}|+|z_{3}-z_{4}|\cdot |z_{1}-z_{2}|}$,

которое следует из неравенства треугольника для комплексных чисел и тождества

${\displaystyle (z_{3}-z_{1})\cdot (z_{4}-z_{2})=(z_{3}-z_{2})\cdot (z_{4}-z_{1})+(z_{3}-z_{4})\cdot (z_{1}-z_{2})}$.

В случае обращения неравенства в равенство слагаемые в правой части должны быть пропорциональны вектору суммы и сонаправлены ему, то есть оба числа

${\displaystyle {\cfrac {(z_{3}-z_{2})(z_{4}-z_{1})}{(z_{3}-z_{1})(z_{4}-z_{2})}}}$ и ${\displaystyle {\cfrac {(z_{3}-z_{4})(z_{1}-z_{2})}{(z_{3}-z_{1})(z_{4}-z_{2})}}}$

должны быть вещественны, положительны, с суммой равной 1 (то есть находятся между 0 и 1).

Вещественность означает, что ${\displaystyle {\rm {Im}}{\cfrac {z_{3}-z_{2}}{z_{3}-z_{1}}}:{\cfrac {z_{4}-z_{2}}{z_{4}-z_{1}}}=0}$, а это - стандартное уравнение окружности.

То, что числа между 0 и 1 означает лишь, что точки A и C на этой окружности - не соседние (на обеих дугах между ними должна присутствовать либо точка B, либо точка D).

О других доказательствах

• Один из вариантов доказательства неравенства основан на применении инверсии относительно окружности с центром в точке ${\displaystyle A}$; этим неравенство Птолемея сводится к неравенству треугольника для образов точек ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$, ${\displaystyle D}$.^[1]
• Существует способ доказательства через прямую Симсона.
• Теорема Птолемея может доказываться следующим способом (близким к доказательству самого Птолемея, приведённому им в книге Альмагест) — ввести точку ${\displaystyle E}$ такую, что ${\displaystyle \angle ABE=\angle DBC}$, а потом через подобие треугольников.
• Теорема также является следствием из соотношения Бретшнайдера.

Следствия

• Теорема Помпею.^[2] Рассмотрим точку ${\displaystyle X}$ и правильный треугольник ${\displaystyle ABC}$. Тогда из отрезков ${\displaystyle XA}$, ${\displaystyle XB}$ и ${\displaystyle XC}$ можно составить треугольник, причём этот треугольник вырожденный тогда и только тогда, когда точка ${\displaystyle X}$ лежит на описанной окружности треугольника ${\displaystyle ABC}$.

• Если AC — диаметр окружности, то теорема превращается в правило синуса суммы. Именно это следствие использовал Птолемей для составления таблицы синусов.

• Формула Карно

Вариации и обобщения

• Соотношение Бретшнайдера
• Неравенства Птолемея можно распространить и на шесть точек: если ${\displaystyle A_{1},A_{2},\dots A_{6}}$ произвольные точки плоскости (это обобщение называют теоремой Птолемея для шестиугольника, а в зарубежной литературе теоремой Фурмана (Fuhrmann’s theorem)^[3]), то

Обобщенная теорема Птолемея или теорема Кейси

${\displaystyle A_{1}A_{4}\cdot A_{2}A_{5}\cdot A_{3}A_{6}\leq A_{1}A_{2}\cdot A_{3}A_{6}\cdot A_{4}A_{5}+A_{1}A_{2}\cdot A_{3}A_{4}\cdot A_{5}A_{6}+}$

${\displaystyle +A_{2}A_{3}\cdot A_{1}A_{4}\cdot A_{5}A_{6}+A_{2}A_{3}\cdot A_{4}A_{5}\cdot A_{1}A_{6}+A_{3}A_{4}\cdot A_{2}A_{5}\cdot A_{1}A_{6},}$

причем равенство достигается тогда и только тогда, когда ${\displaystyle A_{1}\dots A_{6}}$ — вписанный шестиугольник.

• Теорема Кейси (обобщённая теорема Птолемея): Рассмотрим окружности ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$ и ${\displaystyle \delta }$, касающиеся данной окружности в вершинах ${\displaystyle A,B,C}$ и ${\displaystyle D}$ выпуклого четырёхугольника ${\displaystyle ABCD}$. Пусть ${\displaystyle t_{\alpha \beta }}$ — длина общей касательной к окружностям ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$ (внешней, если оба касания внутренние или внешние одновременно, и внутренней, если одно касание внутреннее, а другое внешнее); ${\displaystyle t_{\beta \gamma },t_{\gamma \delta }}$ и т. д. определяются аналогично. Тогда

${\displaystyle t_{\alpha \beta }t_{\gamma \delta }+t_{\beta \gamma }t_{\delta \alpha }=t_{\alpha \gamma }t_{\beta \delta }}$.

Циклический граф, в котором все расстояния удовлетворяют неравенству Птолемея, называют графом Птолемея

• Граф Птолемея (см. рис.)^[4],

См. также

• Теорема Помпею
• Теорема Микеля о шести окружностях